国庆集训 Day1 T2 生成图 DP

国庆集训 Day1 T2 生成图

现在要生成一张\(n\)个点的有向图。要求满足：

1.若有 a->b的边，则有 b->a 的边

2.若有 a->b 的边和 b->c 的边，则有 a->c 的边

3.至少有一个点没有自环。

求方案数模上\(m\)

\(n≤2000,2≤m≤1,000,000,007\)

样例：

input

2 5

output

3

有点难度的DP，首先需要明确的是在一个连通图中每一个点都有自环（样例可体现），所以有点没有自环当且仅当这一个点独立为一个联通块。

设\(g[i]\)表示\(i\)个点自由组合，且每个点都存在自环的方案数，\(f[i]\)表示\(i\)个点自由组合，且至少有1个点没有自环的方案数（\(f[n]\)即答案）

考虑\(f[i]\)转移有以下情况：

• 第\(i\)个点孤立且没有自环，即\(f[i]+=f[i-1]+g[i-1]\)
• 第\(i\)个点孤立且自环，即\(f[i]+=f[i-1]\)
• 第\(i\)个点与前\(i-1\)个点中的\(j-1\)个点构成一个大小为\(j\)的联通块，即\(f[i]+=\sum_{j=2}^{i-1}f[i-j]\times C_{i-1}^{j-1}\)

考虑\(g[i]\)转移有以下情况：

• 第\(i\)个点孤立且自环，即\(g[i]+=g[i-1]\)
• 类似的，第\(i\)个点与前\(i-1\)个点中的\(j-1\)个点构成一个大小为\(j\)的联通块，即\(g[i]+=\sum_{j=2}^{i-1}g[i-j]\times C_{i-1}^{j-1}\)

为求\(C_n^m\)，我们可以利用杨辉三角，第\(i\)行第\(j\)列（\(i\)从0开始）即为\(C_i^j\)

#include <cstdio>
#define MAXN 2002
#define ll long long
using namespace std;
ll C[MAXN][MAXN]; //C[n][m]
ll f[MAXN],g[MAXN];
int n,MOD;
int main(){
    scanf("%d %d", &n, &MOD);
    for(int i=0;i<=n;++i){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
    }
    f[1]=1;
    g[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        g[i]=g[i-1]%MOD;
        for(int j=2;j<=i-1;++j)
            g[i]=(g[i]+g[i-j]*C[i-1][j-1]%MOD)%MOD;
        g[i]=(g[i]+1)%MOD;
        f[i]=(f[i-1]+f[i-1]+g[i-1])%MOD;
        for(int j=2;j<=i-1;++j)
            f[i]=(f[i]+f[i-j]*C[i-1][j-1]%MOD)%MOD;
    }
    printf("%lld", f[n]);
    return 0;
}

一开始题读错了导致后面DP推错了，以后注意要仔细揣摩样例与题意