DP&图论 DAY 5 上午

DP&图论  DAY 5  上午

POJ 1125 Stockbroker Grapevine

有 N 个股票经济人可以互相传递消息，他们之间存在一些单向
的通信路径。现在有一个消息要由某个人开始传递给其他所有
人，问应该由哪一个人来传递，才能在最短时间内让所有人都接
收到消息。

Solution

全局最短路

Floyd

POJ 1502 MPI Maelstrom

给出 N 个处理器之间传递信息所需时间矩阵的下三角，求信息
从第一个处理器传到其它所有处理器所需时间最大值。

Solution

单源最长路   dij（n m logn）

n^2 logn

POJ 1511 Invitation Cards

N 个点 M 条边的有向图，询问对于所有 i，从点 1 出发到点 i 并
返回点 1 所需时间最小值。

Solution

# 正向建图 + 单源最短路
# 反向建图 + 单源最短路 ，所以就是把有向边反过来，从点1出发 dij 其实是反向最短路

POJ 1724 ROADS

有 N 个城市和 M 条单向道路，每条道路有长度和收费两个属性。
求在总费用不超过 K 的前提下从城市 1 到城市 N 的最短路。

Solution

Dijkstra，同时维护当前路径总费用，超过费用上限的状态不再转移

对于每个点拆成k个点，（u,0）,（u,1）,.......（u,k）

分层图

 POJ 1797 Heavy Transportation

给出 N 个点 M 条边的无向图，每条边有最大载重。
求从点 1 到点 N 能通过的最大重量。

 Solution

1.二分答案，假设最大载重>=mid，只能通过限重>=mid的边，加到图中，判断连通性

2.最大生成树 krus，判断 1---n 连通性，连通即终止

从大到小加边，第一次连通1和n那么那条边就是答案

并查集维护加入前 k 大边时的连通性

3.dijkstra   变种单源最短路，路径长度改为路径边权最小值

if ( dis[v] < min(dis[u],w) )  dis[v] = min( dis[u] , w )

POJ 1062昂贵的聘礼（http://poj.org/problem?id=1062 ）

PS：注意酋长地位不一定是最高的

Solution

 先对于地位升序排列，然后枚举[酋长，酋长+m]这个区间来作为最大的地位

 跑区间长度次最短路

从原价的超级远点跑dij，然后到点1

1.建图，物品作为点，替代关系作为边，优惠价格是长度

比如  酋长女儿<------水晶球    权值是优惠价格

从某物品出发交换至酋长允诺就是一条路径

不考虑地位限制，从酋长允诺出发求单源最短路即可知道从任意一点出发所需金币

   这是一个反向最短路  反向 dij

2. 枚举地位等级区间，不在地位等级区间内的点不可经过，枚举量 O(N) 
    为了“间接交易”合法，枚举的区间左右端点等级之差<=m

也就是 max - min <= m  ，为了使得在一个区间内有更大的交易余地，我们设定max-min=m

然后考虑在这区间内部的都可以交易，不合法的就在图中删掉

看数据，m可能很大，但是n小，然后就考虑枚举点作为区间端点

3.剩下的合法的图跑反向 dij

BZOJ 3040 最短路 *

N 个点， M 条边的有向图，求点 1 到点 N 的最短路（保证存在）。
1 ≤ N ≤ 1000000, 1 ≤ M ≤ 10000000
By lydrainbowcat
边集分为两部分：
# 随机生成
# 输入给出

Solution

1. 采用高效的堆来优化 Dijkstra 算法。
    # 斐波那契堆
    # 配对堆

dij ，一个大图就凉

SPFA太小，凉

dij 用支持修改删除的堆，配对堆

2.用 pq 做，随机生成的数据不要，直接删掉

https://paste.ubuntu.com/p/Mp2fXMKv8J/

  *d就是只输入不赋值

priority_queue  STL实现合并

启发式合并，两个堆，A，B，把较小的堆拆了，放到较大的堆里面

每个点最多产生 logn 次代价

最小生成树算法

Prim

// Prim

void prim() {
    memset(dis, inf, sizeof dis);
    heap.push(data(, dis[] = ));
    int ans = ;
    while (!heap.empty()) {
        data t = heap.top(); heap.pop();
        if (dis[t.u] != t.d)continue;
        ans += t.d;
        for (int i = hd[t.u], v, w; i; i = nt[i])
            if (v = to[i], w = vl[i], dis[v] > w)
                heap.push(data(v, dis[v] = w));
    }
}

Kruskal

复杂度卡在排序上

证明依赖于拟阵的知识。

> 拟阵

独立集

交换性的推论：一个集合的所有极大独立集大小都相同。

如果不相同，就交换

线性相关：向量*常数，加起来，是0向量

拟阵最优化

POJ 1258 Agri-Net

有 N 个村庄，村庄之间形成完全图。现给出邻接矩阵，选择总
长度尽可能小的边将 N 个村庄连通。

>最小生成树

POJ 2421 Constructing Roads

有 N 个村庄，有一些道路已经存在，现在希望用最少的总长度
将所有村庄连通。

>将已经存在道路设置长度为 0。

POJ 2560 Freckles

给出平面上 N 个点，求将所有点连通的最小距离和。

>O(N2) 建边。

POJ 1789 Truck History

有 N 个编号，每个编号均为 7 位数。两个编号之间的距离定义
为其不同位个数，由一个编号生成另一个编号代价为两个编号的
距离。希望用最小总代价从某一编号开始生成所有编号。

>O(N2) 建边。

一开始没看明白T，距离就是比较两个编号各位数字，然后计算有几位不同

BZOJ 1601 灌水

>Solution

BZOJ 2743 滑雪与时间胶囊

Solution

高度从大到小，边从小到大

能够到达的景点容易通过 DFS 或 BFS 求出。

最优解应当构成树形，所需要的时间即为所有边长度之和。易联想到用最小生成树 Kruskal 算法解决本问题。

如何设置 Kruskal 时边的优先级？如何保证选出的有向边集使得每个点从 1 出发可达？

以到达点高度为第一关键字，边长度为第二关键字。到达点高度高的边优先，同样高时边长度短的优先。

BZOJ 2561 最小生成树 *

（放到晚上）

树上倍增

序列倍增

树上倍增

f[i][j]表示结点编号

如何求解 u 向上移动 k 步是哪个点？

最近公共祖先

Tarjan 支持离线

DFS序+RMQ 支持在线

树上DFS有回溯操作，每个点被放进的次数就是相邻边数，所以序列长度2n

记录每个点第一次被放进序列，最后一次放进序列

对于两个点，A，B，最晚的A，最早的B，卡一个区间，区间内出现过 LCA（A，B），而且不存在比他深的节点，区间深度最小，就是 LCA

向上路径

如何求解从 u 到 v 路径上边权最值？保证 v 是 u 的祖先。

树上路径

如何求解从 u 到 v 路径上的边权和？

将路径拆分为两段向上路径，分别求解其答案再合并。