tarjan缩点（洛谷P387)

此题解部分借鉴于九野的博客

题目分析

• 给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边有向图，每个点有一个权值，求一条路径，使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。

• 允许多次经过一条边或者一个点，但是，重复经过的点，权值只计算一次。

• 假如没有后面这条限制的话,那图一定是一个无环图。因为有环的话我可以一直在环上跑，所以答案就没有一个上界

• 没有环的话我萌可以很自然地想到一个 \(O(n)\) 的 拓扑\(dp\) 做法，先做入度为 \(0\) 的点，更新入度不为 \(0\) 的点，把更新后入度为 \(0\) 的点加入队列里，继续做之前的事情

• 现在考虑有环怎么做

• 有一个贪心的思路是，到环上就先把环上的点都走完，再从环上任意一点出发

• 其实这个环可以看做一个大点，也就是我们今天要介绍的主角 \(\to\) 缩点

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tarjan缩点

下面这张图是从 九野的博客 那 copy 过来的

• 把可以互相抵达的点集叫做一个连通分量
• 最大的那个可以互相抵达的点点集即为强连通分量
• 特别的，单个的点也可以是强连通分量

比如说 ：\(\{ 4, 5 \}\) 是一个联通分量，而 ${4,5,6 } $ 则是一个强连通分量（一个大点）

tarjan的过程就是通过 dfs 找强连通分量（大点）的过程

对图dfs一下，遍历所有未遍历过的点 ，会得到一个有向树，显然有向树是没有环的。（注意搜过的点不会再搜

则能产生环的 只有（指向已经遍历过的点）的边

我们发现 \(7 \to 3\) （红边 / 横叉边）这种边一定不会产生连通分量

而 \(6 \to 4\) （绿边 / 返祖边）这种边一定会产生联通分量

具体来说：具有父子关系的边一定会产生联通分量

我们在dfs的时候需要用一个栈来保存当前所在路径上的点（栈中所有点一定是有父子关系的）

我们用一些数组来表示dfs的过程

int tim, dfn[MAX], low[MAX]

\(dfn[i]\) 表示遍历到节点 \(i\) 的时间戳（第几次遍历）

\(low[i]\) 表示往上可以到达最早的点

初始化 \(dfn[i] = low[i] = ++tim\)

我们可以根据上面过程的步骤写出以下代码

    for(int i = head[u]; i; i = nex[i]) {
        if(dfn[to[i]]) {
            if(instack[to[i]]) {
            	if(low[to[i]] < low[u]) {
                	low[u] = low[to[i]];
                }
            }
        } else {
            dfs(to[i]);
            if(low[to[i]] < low[u]) {
            	low[u] = low[to[i]];
            }
        }
    }

假如当前节点 \(u\)， \(dfn[u] == low[u]\) 那就说明栈顶元素一直到节点 \(u\) 都属于一个强联通分量，感性理解

把栈中元素弹出并且把他们都给标记为同一种颜色（同一个强连通分量）

    if(dfn[u] == low[u]) {
        ++totcol;
        do {
            int v = stk[top];
            col[v] = totcol;
            instack[v] = false;
        } while(stk[top--] != u);
    }

具体实现看代码

\(\color {Deepskyblue} {Code}\)

这里还有一道 tarjan练手好题