[NOIp2013] luogu P1966 火柴排队

磕了瓶魔爪。

题目描述

你有两个长度为 NNN 的数组 a,ba,ba,b，试重新排列 aaa 数组使得S=∑i=1n(ai−bi)2S=\sum_{i=1}^{n}{(a_i-b_i)^2}S=i=1∑n​(ai​−bi​)2的值最小。你可且仅可以交换相邻的两个数。求最小交换数对 99,999,99799,999,99799,999,997 取模的值。

Solution

容易得到(∑i=1nai)2+(∑i=1nbi)2=S−2∑i=1naibi(\sum_{i=1}^{n}{a_i})^2+(\sum_{i=1}^{n}{b_i})^2=S-2\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}(i=1∑n​ai​)2+(i=1∑n​bi​)2=S−2i=1∑n​ai​bi​

显然前几项都是定值，我们只能在最后一项中做文章。

注意到，将 a,ba,ba,b 数组排序后，aia_iai​ 与 bib_ibi​ 配对一定最优（反证法证明）。于是先离散化，然后排序，树状数组求逆序对个数即可。时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

const int MAXN=100010;
const int MOD=99999997;

int n;
struct node{
	int d,id;
	friend bool operator<(const node a,const node b){
		return a.d<b.d;
	}
}a[MAXN],b[MAXN];
int c[MAXN];
int bk[MAXN];

void Sort(){
	//此处写的较为繁琐，但是可读性强
	std::sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		c[a[i].id]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i].id=c[i];
	std::sort(b+1,b+n+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		c[b[i].id]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		b[i].id=c[i];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		c[a[i].id]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i].id=c[b[i].id];
}
int tree[MAXN];
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}
void change(int x,int y){
	while(x<=n){
		tree[x]+=y;
		x+=lowbit(x);
	}
}
int que(int x){
	int cnt=0;
	while(x){
		cnt+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return cnt;
}
int query(int l,int r){
	return que(r)-que(l-1);
}
//求逆序对个数
void Calc(){
	memset(tree,0,sizeof(tree));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		bk[a[i].id]=i;
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		change(bk[i],1);
		cnt=(cnt+query(bk[i]+1,n))%MOD;
	}
	printf("%d",cnt);
}
inline int read(){
	int x=0; char c;
	do c=getchar(); while(c<'0'||c>'9');
	while(c>='0'&&c<='9')
		x=x*10+c-48,c=getchar();
	return x;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a[i].d=read();
		a[i].id=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		b[i].d=read();
		b[i].id=i;
	}
	Sort();
	Calc();
}