FJUT2019暑假周赛三部分题解

A本来想改到q<1e5，让你们预处理的，然后想了哈作为个逆元模板题吧= =，做不出来自行反思。

B贴个题面

因为只有一次机会，那么也就是两点分布期望E = p了，先说说大家的做法，先求出每个n的逆元保存，然后因为最大只会取到1e6，所以对0-1e6跑一遍每个数的倍数个数。复杂度O(N^1/3)，代码如下

 #include <iostream>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 ll sum[maxn+];
 ll sqr3(ll n){
     int l=,r=maxn+;
     while(l+<r){
         ll mid = (l+r)>>;
         if(mid*mid*mid>n)
             r=mid;
         else l=mid;
     }
     return l;
 }
 void exgcd(const ll a, const ll b, ll &g, ll &x, ll &y) {
     if (!b) g = a, x = , y = ;
     else exgcd(b, a % b, g, y, x), y -= x * (a / b);
 }

 ll inv(const ll num,const ll MOD) {
     ll g, x, y;
     exgcd(num, MOD, g, x, y);
     return ((x % MOD) + MOD) % MOD;
 }
 ll fast_mult(ll x,ll y,ll mod) {
     ll tmp=(x*y-(ll)((long double)x/mod*y+1.0e-8)*mod);
     return tmp< ? tmp+mod : tmp;
 }
 int main() {
     for(ll i=;i<=maxn;i++){
         sum[i]=sum[i-]+((i+)*(i+)*(i+)-)/i-(i*i*i-)/i;
     }
     int T;
     cin>>T;
     while(T--){
         ll n,mod;
         cin>>n>>mod;
         ll temp=sqr3(n);
         ll ans=sum[temp-]+n/temp-(temp*temp*temp-)/temp;
         ans=fast_mult(ans%mod,inv(n,mod)%mod,mod);
         cout<<ans<<endl;
     }
     return ;
 }

然后我的做法是

这里对每一步做一个解释 = =，大佬可以略过，[S]代表艾弗森约定，就是S为真则值为1，否则值为0。

对于第一个等号，就是求这些赢点的个数和。

对于第二个等号，用x来代表k的立方根的底。

对于第三个等号，第一个艾弗森约定应该不难理解，底肯定会小于等于原值。

对于第四个等号，这里第一个和式是处理边界，这里x=N的立方根的底（写错了，懒得重新改了）。这部就是把边界单独处理了。

对于第五个等号，讨论y的取值。

对于第六个等号，换底，然后是对y求和.

后面的同上，讨论取值求和。

最后就可以求得一个公式，因为要求立方根的底，建议用牛顿迭代求解。

最终的复杂度就是O(QlogN)。代码如下

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int q;
 ll n,Mod,w;
 double newton(double x){
     double x1, x2;
     if (x == 0.0) return 0.0;
     x1 = x;
     x2 = (2.0 * x1 + x / (x1 * x1)) / 3.0;
     while (fabs((x2 - x1) / x1) >= 1E-) {
         x1 = x2;
         x2 = (2.0 * x1 + x / (x1 * x1)) / 3.0;
     }
     return x2;
 }

 void extgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y){
     if(!b){
         x = ;
         y = ;
         return ;
     }
     extgcd(b,a%b,y,x);
     y -= x*(a/b);
 }

 ll inverse(ll a,ll n){
     ll x,y;
     extgcd(a,n,x,y);
     return (x+n)%n;
 }

 ll qmul(ll a,ll b) {
     ll ans = ;
     while (b) {
         if (b&) {
             ans = (ans+a)%Mod;
         }
         a = (a+a)%Mod;
         b >>= ;
     }
     return ans;
 }

 void solve() {
     cin >> n >> Mod;
     ll k = newton(n);
     ll w = n/k - ;
     if (k&) {
         w += k*k/ + *k/ + ;
     } else {
         w += k/*k + k/*;
     }
     //cout << k << ' ' << w << endl;
     ll ans = qmul(w%Mod,inverse(n,Mod));
     cout << ans << endl;
 }

 int main() {
     ios_base::sync_with_stdio();
     cin >> q;
     while (q--) {
         solve();
     }
     return ;
 }

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太伤心了= =，被离线算法吊打。