Educational Codeforces Round 88 (Rated for Div. 2) C. Mixing Water（数学/二分）

题目链接：https://codeforces.com/contest/1359/problem/C

题意

热水温度为 $h$，冷水温度为 $c\ (c < h)$，依次轮流取等杯的热冷水，问二者在一容器中混合至最接近温度 $t$ 最少需要取多少杯。

题解

设取了 $x$ 杯热水，那么总的温度有两种情况：

• 取的冷水杯数与热水相同：$\frac{xh + xc}{2x}$
• 取的冷水杯数比热水少一杯：$\frac{xh + (x - 1)c}{2x - 1}$

第一种情况：

$\frac{xh + xc}{2x} = \frac{h + c}{2}$，所以只要取的热冷水杯数相同，总温度恒为 $\frac{h + c}{2}$ 。

第二种情况：

$\frac{xh + (x - 1)c}{2x - 1} = \frac{x(h+c)-c}{2x-1}$，求导得：$\frac{c-h}{(2x-1)^2}$，即当 $x≥1$ 时原函数单调递减，$\frac{x(h+c)-c}{2x-1} = \frac{h+c}{2 - \frac{1}{x}} - \frac{c}{2x-1}$，将 $x = 1$ 和 $x = + \infty$ 代入得值域为：$[\frac{h + c}{2}, h]$ 。

综上：

• 如果 $t≥h$，因为值域为 $[\frac{h + c}{2}, h]$，此时与 $t$ 相差最小的就是 $h$，所以输出 $1$ 即可。
• 同理，如果 $t≤\frac{h + c}{2}$，输出 $2$ 即可。
• 否则二分查找总温度小于等于 $t$ 的最小杯数 $ans$，与大于 $t$ 的最小杯数 $ans-1$ 取与 $t$ 之差的较小者即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int h, c, t;

double cal(double x) {
    return (x * h + (x - 1) * c) / (2 * x - 1);
}

void solve() {
    cin >> h >> c >> t;
    if (t >= h)
        cout << 1 << "\n";
    else if (2 * t <= h + c)
        cout << 2 << "\n";
    else {
        int ans = 0;
        int l = 1, r = 1e6;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (cal(mid) <= t) {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            } else l = mid + 1;
        }
        double mi = min(abs(t - cal(ans - 1)), abs(t - cal(ans)));
        if (ans - 1 >= 1 and mi == abs(t - cal(ans - 1)))
            cout << 2 * ans - 3 << "\n";
        else
            cout << 2 * ans - 1 << "\n";
    }
}

int main() {
    int T; cin >> T;
    while (T--) solve();
}