扩展BSGS

\(BSGS\)

求解\(a^x\equiv b\pmod p\)，且\(a\)与\(p\)互质

由\(a^{φ(p)}\equiv1 \pmod p\)和\(a^0\equiv 1\pmod p\)得

\(0\simφ(p)\)为一个循环节，所以若在这个范围内不存在\(x\)满足方程，方程就无解

考虑分块，设\(x=im-k\)，其中\(0\leqslant k\leqslant m\)

原方程变为\(a^{im-k}\equiv b\pmod p\)

两边同乘\(a^k\)，\(a^{im}\equiv {a^kb}\pmod p\)

那么就可以先计算右边\({a^kb}\ mod\ p\)的值，放入一个\(hash\)表中，再计算左边\(a^{im}\ mod\ p\)的值，从小到大枚举所有可能的\(i\)值，再在\(hash\)表查询

当\(m\)取\(\sqrt p\)时复杂度最小，为\(O(\sqrt p)\)

同时注意\(m\)需要取\(\sqrt p+1\)或是\(ceil(\sqrt p)\)

\(code:\)

ll qp(ll x,ll y,ll m)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=(ans*x)%m;
        x=(x*x)%m;
        y>>=1;
    }
    return ans%m;
}
map<ll,int> ha;
ll bsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    ll m=ceil(sqrt(p));
    for(ll i=0,t=b;i<=m;++i,t=t*a%p) ha[t]=i;
    for(ll i=1,tmp=qp(a,m,p),t=tmp;i<=m;++i,t=t*tmp%p)
        if(ha[t])
            return i*m-ha[t];
    return -1;
}

\(exBSGS\)

求解\(a^x\equiv b\pmod p\)，不保证\(a\)与\(p\)互质

设\(g=gcd(a,p)\)

带入得\(a^{x-1}\frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}\ (mod\ \frac{p}{g})\)

化简得\(a^{x-1}\equiv \frac{b}{g}×inv(\frac{a}{g})\ (mod\ \frac{p}{g})\)

像这样一直变换下去，当\(a\)与\(\frac{p}{g}\)互质时，即可求解

在变换过程中，当发现\(g\nmid b\)且\(b\ne 1\)时，原方程无解

当\(b=mul\)时说明此时\(a\)的次数为\(0\)，这时返回变换次数\(cnt\)

\(code:\)

ll exgcd(ll a,ll b)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll ans=exgcd(b,a%b),tmp=x;
    x=y,y=tmp-a/b*y;
    return ans;
}
ll qp(ll x,ll y,ll m)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=(ans*x)%m;
        x=(x*x)%m;
        y>>=1;
    }
    return ans%m;
}
ll inv(ll a,ll p)
{
    exgcd(a,p);
    return (x%p+p)%p;
}
unordered_map<ll,int> ha;
ll bsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    ha.clear();
    ll m=ceil(sqrt(p));
    for(ll i=0,t=b;i<=m;++i,t=t*a%p) ha[t]=i;
    for(ll i=1,tmp=qp(a,m,p),t=tmp;i<=m;++i,t=t*tmp%p)
        if(ha[t])
            return i*m-ha[t];
    return -1;
}
ll exbsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    if(b==1||p==1) return 0;
    ll g,cnt=0,mul=1;
    while((g=exgcd(a,p))!=1)
    {
        if(b%g!=0) return -1;
        cnt++,b/=g,p/=g,mul=mul*(a/g)%p;
        if(b==mul) return cnt;
    }
    ll ans=bsgs(a,b*inv(mul,p)%p,p);
    if(~ans) return ans+cnt;
    return -1;
}