【做题】Codeforces Round #429 (Div. 2) E. On the Bench——组合问题+dp

题目大意是给你n个数，求相邻两数相乘不是完全平方数的排列数。

一开始看到这题的时候，本人便想给相乘为完全平方数的数对建边，然后就写萎了...

后来通过集体智慧发现这个重要性质：对于自然数a,b,c，若a*b为完全平方数，且b*c为完全平方数，那么a*c就是完全平方数。（我居然没想到）因此就可以对这n个数进行分组，使得每一组中两个数两两相乘为完全平方数，不同组的数两两相乘不是完全平方数。假设分成tot组，第i组的数的个数为num[i]。这也就等同于相同的数不能相邻的排列问题。

于是通过PY就得到了动规的做法：

定义数组dp[i,j]，其中i表示前i组数，j表示有多少对相邻的同组的数（这也等价于有j个地方需要插入其他的数），而dp[i,j]就表示在当前状态下的方案数。那么最终答案就是dp[tot,0]。

定义m为前i-1组数的元素个数之和，在dp过程中维护。

当新加入第i组数的时候，把这num[i]个数分成k份（方案数是C(num[i]-1,k-1)），插入到m+1个空位中。

此时需要分类讨论：

在这m+1个空位中，有j个空位是特殊的，若插入其中会影响新生成的排列的相邻同组数的数目。于是设k份中的p份插入这j个空位中，剩下k-p份插入m+1-j个空位中。

就可以得到dp[i,j+num[i]-k-p]+=dp[i-1,j]*C(num[i-1],k-1)*C(j,p)*C(m+1-j,k-p);

这我一开始也不是很理解...

当然代码与这里有所差异。

注：因为dp是基于每一组数中的元素相同的前提的，所以最后答案还要乘以每一组数的A(num[i],num[i])。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N=,MOD=;
 long long num[N],c[N][N];
 long long dp[N][N],a[N];
 int tmp,n,tot,example[N];
 bool key;
 bool ask(int x,int y)
 {
     long long re=;
     re*=x;
     re*=y;
     long long f=sqrt(re);
     if(f*f==re) return ;
     return ;
 }
 int main()
 {
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         cin>>tmp;
         key=;
         for(int j=;j<=tot;j++)
         {
             if(ask(tmp,example[j]))
             {
                 num[j]++;
                 key=;
                 break;
             }
         }
         if(key)
         {
             num[++tot]=;
             example[tot]=tmp;
         }
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
      c[i][]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
      for(int j=;j<=i;j++)
      {
          c[i][j]=c[i-][j]+c[i-][j-];
          c[i][j]%=MOD;
      }
     int m=;
     a[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         a[i]=a[i-]*i;
         a[i]%=MOD;
     }
     dp[][]=;
     long long temp,temp1;
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         for(int j=;j<n&&j<=m+;j++)
         {
             if(dp[i-][j]==) continue;
             for(int k=;k<num[i];k++)
             {
                 temp=dp[i-][j]*c[num[i]-][k];temp%=MOD;
                 for(int p=;p<=k+&&p<=j+num[i]--k;p++)
                 {
                     temp1=temp*c[j][p];temp1%=MOD;//本人因为数据溢出炸了几次
                     dp[i][j+num[i]--k-p]+=(temp1*c[m+-j][k+-p])%MOD;
                     dp[i][j+num[i]--k-p]%=MOD;
                 }
             }
         }
         m+=num[i];
     }
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         dp[tot][]*=a[num[i]];
         dp[tot][]%=MOD;
     }
     cout<<dp[tot][]<<endl;
     return ;
 }