2-sat相关复习

2-sat相关复习

noi曾经考过，谁能说得准呢

sat问题

通俗的sat问题表述一般是这样的：有很多个集合，每个集合里面有若干元素，现给出一些取元素的规则，要你判断是否可行，可行则给出一个可行方案。如果所有集合中，元素个数最多的集合有k个，那么我们就说这是一个k-sat问题。
k-sat是NP问题，当k>2时,所以在OI里，我们只讨论2-sat问题的解决。

能干啥

一般形式(模板):n个点，每个点有个01变量，给出m个限制，让你找出符合限制的一组合法解
限制条件一般为\(x_{0} \oplus {y_{0}}=0,x_1\&y_0=1\)之类的.

如何做

我们利用限制条件来构出图来
一个限制条件如果是 选\(a\)则必须选\(b\)
那么，
\(a -> b\)(显性条件)
\(b' -> a'\)(隐性条件)
就是说第一条边就是限制条件所说。
第二条边就是说选了\(b'\)，则再选择了\(a\)会与条件矛盾，所以只能选择\(a'\)
这样我们构出的图就有对称性了
2-sat的构图总是有对称性的

判定&&求解

举例子
选1不选4，选2不选3，选7不选3

我们首先选1，则3,8是必须选的(4,7必须不选)，5，6随便选一个
矛盾的情况就是一个组都选了(上下两个点)
然后枚举一组没有确定过的点，进行判定，如果矛盾，则选另一个a',不矛盾就选择a。
得不到答案无解，得到就是一组解
为何上面没被确定的点就可以继续判定，
也就是说这组点没有被之前的点所连，他们与之前的组是没有关系的(边即关系)
这也是得到一组字典序最小解的方法(应该是求字典序最小的唯一方法)
复杂度\(O(n*m)\)

优化求解（利用对称性）

我们发现，一个环内，要不都不要，要不都要，就是说这些点都可以用一个点表示
喂喂喂，你别忘了这是2-sat问题诶，你一个点要有两个属性诶，缩点了如何保证啊。
emm，不用管。
我们之前建边的对称有啥用呢?
如果一个环是a->b->c->d->e->a
那么根据前面建边的对称，一定有a'<-b'<-c'<-d'<-e'<-a'
那么我们就说这两个环对称
那么我们建立的新图自然就是对称的，也就保证了2-sat的两个属性。

环内如果一组都在里面，则无解（因为两个点必须有一个选和一个不选）。
那么我们先tarjan缩下点，判一下无解

我们选择了一个点，则它的所有连接着的点都要被选(还有连接着的连接着的点……)，很麻烦
那我们先找入读为0的点，这么就没影响了。
就是拓扑排序，不过拓扑的是反图(边都反过来)。
不过tarjan的时候就是按拓扑序来的，所以根本不用再在写拓扑了(写也没关系啦)，嘻嘻。