【Java】 剑指offer(62) 圆圈中最后剩下的数字

 

本文参考自《剑指offer》一书，代码采用Java语言。

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题目

　　0, 1, …, n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

思路

　　方法一：采用链表来存放数据，每次对长度取余来实现循环

　　将所有数字放入LinkedList链表中（LinkedList比ArrayList更适合增删操作）。假设当前删除的结点下标为removeIndex，则下一个要删除的结点的下标为：(removeIndex+m-1)%list.size()，通过取余符号可以实现类型循环的操作。

　　注：没必要用循环链表，反而会更麻烦了。

　　方法二：数学推导规律

　　n个数字的圆圈，不断删除第m个数字，我们把最后剩下的数字记为f(n,m)。

　　n个数字中第一个被删除的数字是(m-1)%n， 我们记作k，k=(m-1)%n。

　　那么剩下的n-1个数字就变成了：0,1,……k-1,k+1,……,n-1，我们把下一轮第一个数字排在最前面，并且将这个长度为n-1的数组映射到0~n-2。

　　原始数字：k+1,……,   n-1,       0,    1,……k-1

　　映射数字：0    ,……,n-k-2, n-k-1, n-k,……n-2

　　把映射数字记为x，原始数字记为y，那么映射数字变回原始数字的公式为 y=(x+k+1)%n。

　　在映射数字中，n-1个数字，不断删除第m个数字，由定义可以知道，最后剩下的数字为f(n-1,m)。我们把它变回原始数字，由上一个公式可以得到最后剩下的原始数字是（f(n-1,m)+k+1)%n，而这个数字就是也就是一开始我们标记为的f(n,m)，所以可以推得递归公式如下：

　　　　　　　　　　f(n,m) =（f(n-1,m)+k+1)%n

　　将k=(m-1)%n代入，化简得到：

　　　　　　　　　　f(n,m) =（f(n-1,m)+m)%n

　　　　　　　　　　f(1,m) = 0

　　代码中可以采用循环或者递归的方法实现该递归公式。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

测试算例　

　　1.功能测试（m大于/小于/等于n）

　　2.特殊测试（n、m<=0）

　　3.性能测试（n=4000,n=997）

Java代码

//题目：0, 1, …, n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里
//删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

public class LastNumberInCircle {
    /*
     * 方法一：采用推导出来的方法
     */
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1)
            return -1; //出错
        int last=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            last=(last+m)% i;  //这里是i不是n！！！
        }
        return last;
    }

    /*
     * 方法二：采用链表来存放，每次对长度取余来实现循环
     */
    public int LastRemaining_Solution2(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1)
            return -1; //出错
        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
        for(int i=0;i<n;i++)
            list.add(i);
        int removeIndex=0;
        while(list.size()>1){
            removeIndex=(removeIndex+m-1)%list.size();
            list.remove(removeIndex);
        }
        return list.getFirst();
    }
}

　　

收获

　　1.对于下标循环一圈类似的问题，通过%可以很好地实现循环，而不需要我们自己构造循环链表；

　　2.(a%n+b)%n=(a+b)%n

　　3.尽量学会本题的数学方法，特别是要掌握好数字间映射的方法。

　　4.公式法中，last=(last+m)% i;  //这里是i不是n！！！

　

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