BZOJ2194: 快速傅立叶之二 FFT_卷积

Description

请计算C[k]=sigma(a[i]*b[i-k]) 其中 k < = i < n ，并且有 n < = 10 ^ 5。 a,b中的元素均为小于等于100的非负整数。

Input

第一行一个整数N,接下来N行，第i+2..i+N-1行，每行两个数，依次表示a[i],b[i] (0 < = i < N)。

Output

输出N行，每行一个整数，第i行输出C[i-1]。

题解：

求 $C_{k}=\sum a_{i}b_{i-k}$ 

卷积要求下标和要一定，然而这个情况下下标和并不是固定的.

为了让下标和固定，试着把 $b$ 给翻转一下，即 $b_{i}\Rightarrow b_{n-1-i}$

这样原来的式子就变为 $C_{k}=\sum a_{i}b_{n-1-(i-k)}$, 即 $C_{k}=\sum a_{i}b_{n-1-i+k}$

那么，下标和就是 $n-1+k$ 了，这个是固定的

将反转过来的 $b$ 与 $a$ 相乘后，$C_{k}$ 的答案就在相乘后多项式的$n-1+k$ 项了

试试把 $a$ 翻转过来，即 $a_{i}\Rightarrow a_{n-1-i}$ 那么原式为$C_{k}=\sum a_{n-1-i}b_{i-k}$

对于 $k$ 的下标和为 $n-1-k$，效果是相同的 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define maxn 200000
#define pi 3.1415926535898
using namespace std;
int len=1,l,r[maxn<<1];
int ans[maxn];
char str1[maxn],str2[maxn];
struct Cpx{
    double x,y;
    Cpx(double t1=0,double t2=0){x=t1,y=t2;}
}A[maxn<<1],B[maxn<<1],C[maxn<<1],BB[maxn<<1];
Cpx operator+(Cpx a,Cpx b){ return Cpx(a.x+b.x,a.y+b.y);}
Cpx operator-(Cpx a,Cpx b){ return Cpx(a.x-b.x,a.y-b.y);}
Cpx operator*(Cpx a,Cpx b){ return Cpx(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
void FFT(Cpx *a,int n,int flag){
    for(int i=0;i<n;++i) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1){
        Cpx wn(cos(pi/mid),flag*sin(pi/mid)),x,y;
        for(int j=0;j<n;j+=(mid<<1)){
            Cpx w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;++k){
                x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k];
                a[j+k]=x+y,a[j+mid+k]=x-y;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
}
int main(){
    //setIO("input");
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i) scanf("%lf",&A[i].x),scanf("%lf",&BB[i].x);
    for(int i=0;i<n;++i) B[i].x=BB[n-i-1].x;
    while(len<n+n) len<<=1,++l;
    for(int i=0;i<len;++i)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    FFT(A,len,1),FFT(B,len,1);
    for(int i=0;i<=len;++i) C[i]=A[i]*B[i];
    FFT(C,len,-1);
    for(int i=0;i<=len;++i) ans[i]=(int)(C[i].x/len+0.5);
    for(int i=0;i<n;++i) printf("%d\n",ans[i+n-1]);
    return 0;
}