DP整理（未完待续）

一、资源问题

T1 机器分配

已知条件：每家公司分配x台机器的盈利

令f[i][j]表示前i公司分配j台机器的最优解

转移：f[i][j]=max(f[i-1][j-k]+w[i][k])

初始化：f[1][i]=w[1][i]

枚举第i个公司分配k台（直接利用已知条件），那前i-1个公司分配j-k台

T5 化工厂装箱员

一段包含A、B、C的排列，区间从左往右扫，每次区间包含10个元素，每次将区间内所有的A或B或C删除，区间再往右扩张至10个元素，问最小删除次数

令f[d][a][b][c]表示区间总共覆盖了d个数，这一次区间内有a个A，b个B，c个C的最优解

初始化：f最大值

状态转移：f[d][a][b][c]=min(f[d][0][b][c],f[d][a][0][c],f[d][a][b][0])+1

有了第一维d，防止了f状态的重复

二、上升子序列问题

T1 朴素的最长上升子序列

n2：f[i]=j 以第i个数结尾的最长上升子序列长度为j

nlogn:f[i]=j 长度为i的最长上升子序列中，第i个数最小是j

T2 包含第k个数的最长上升子序列

设第k个数为m

删去k前面>=m的，k后面<=m的，同上

k前>=m的删去后，k前面的最长上升子序列的最大值一定比m小，加上m后一定比原来更优

k后<=m的删去后，防止了答案绕过第k个数

T3 最长上升子序列划分

将上升子序列分成2部分==>最长不上升子序列长度<=2

三、线型DP

T1、舞蹈家怀特先生

f[i][l][r]跳了i步，第i步左脚在l，右脚在r的最优解

预处理：move[i][j] 从i移向j所需的代价

状态转移：f[i][l][r]=min(min(f[i][x][r]+move[x][l]),min(f[i][l][x]+move[x][r]))

特殊处理:第一步到两脚都迈出第一步

T2、绿色通道

n道题，解决每个题需要一定时间，每个题可以解决，也可以空过去，给出时间总限制，最小化最大空题段

令f[i]表示抄第i道题所花费的最小时间

状态转移方程：f[i]=min(f[j])+time[i] max(0,i-mid-1)<=j<=i-1

初始化:f数组极大值，f[0]=0

注：本体朴素的DP会TLE，所以要用线段树或单调队列优化

T3、积木游戏

n个积木堆m堆，满足堆与堆之间各积木序号升序，每堆内部从下往上积木序号升序

f[k][i][j][l] 表示 前i个积木分为k组，第k组最后一个是j，j的摆放方式为l的最大高度

状态转移：

① 与前面积木合为一组  f[k][i][i][l]=max(f[k][i][j][t])+high[i]

② 自己另放一组  f[k][i][i][l]=max(f[k-1][i-1][j][t])+high[i]

③ 不放 f[k][i][j][l]=f[k][i-1][j][l]

其中0<=j<i    0<=t<=2

状态压缩：

0 表示  ab面为底；1 表示 ac面为底； 2表示bc面为底

ans=max（f[m][n][i][j]） 1<=i<=n,0<=j<=2

编程复杂度优化：

先对输入每块积木的a，b，c排序，这样在DP中就不用判断同一块积木的长宽高

T4 、括号序列（加括号使之成为规则序列）

f[i][j] 序列i——j 成为规则序列最少添加多少

状态转移：if（i与j能匹配） f[i][j]=f[i+1][j-1]

f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]) i<=k<j

初始化：f[i][i]=1

f[i][j]=0 (i>j)

其余极大值

四、划分型DP

T1 乘积最大

f[i][j]表示前i个数添加了j个乘号的最优解

预处理：w[i][j] 第i-j的数

状态转移：f[i][j]=max(f[k][j-1]*w[k+1][i])

T2 数的划分

将n划分为几个可重复正整数之和的方案数，顺序不同视为同种方案

f[i][j] 把i划分为j个正整数的方案数

状态转移：f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]

初始化：f[0][0]=1

T3 统计单词个数

f[i][j] 前i个字母划分为j段的最优解（最多单词个数）

预处理:w[i][j] 第i到j个字母的单词数

状态转移：f[i][j]=max(f[k][j-1]+w[k+1][i])

初始化：f[i][1]=w[1][i]

T4 数字游戏

f[i][j][k] 第i—j个数划分为k个部分的最优解（各部分和的乘积）

预处理：w[i][j] 第i—j个数的和

状态转移：f[i][j][k]=max(f[i][l][k-1]*w[l+1][j])

预处理：f[i][j][1]=w[i][i]

五、棋盘DP

T1 棋盘分割

dp[k][x1][x2][y1][y2] 矩形左上角标号为（x1，y2） ，右上角标号为（x2，y2），分为k个矩形 所得到的最小平方和

初始化：dp 极大值

预处理：s[x1][x2][y1][y2]   矩形左上角标号为（x1，y2） ，右上角标号为（x2，y2）内所有数和的平方

          dp[1][x1][x2][y1][y2]=s[x1][x2][y1][y2] （相当于一刀也不切的情况）

状态转移：dp[k][x1][y1][x2][y2]=min(

             dp[k-1][x1][y1][x][y2]+s[x+1][y1][x2][y2]) //横着切，取上面一部分继续切

             dp[k-1][x+1][y1][x2][y2]+s[x1][y1][x][y2]//横着切，取下面一部分继续切

             dp[k-1][x1][y1][x2][y]+s[x1][y+1][x2][y2]//竖着切，取左边一部分继续切 

             dp[k-1][x1][y+1][x2][y2]+s[x1][y1][x2][y] //竖着切，取右边一部分继续切

)

转移过程可用记忆化搜索实现