题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/889/H

题意:给出n颗竹子的高度,q次询问,每次询问给出l,r,x,y,每次选取[l,r]中的竹子,砍y次砍掉所有竹子,每次砍下来的竹子长度和是相同的,问你第x次应该砍在哪个高度上

解题思路:由于总共砍的次数已经给出,因此我们可以知道砍x次总共砍的量 Total = $\sum\limits_{i=l}^{r}$h[i]*x/y,那么问题就变成了一个方程$\sum\limits_{i=l}^{r}$max(0,h[i]-ans)=Total,我们需要求的就是ans

也就是求出区间内大于ans的数减掉ans的和等于Total,利用主席树我们可以求出区间大于一个数的个数num和它们的和sum,接下来我们只需二分ans验证即可。时间复杂度O($nlog^{2}n$),后来我了解到一种更好的做法,

我们需要取区间大于ans的一段数去计算答案,因此我们递归处理这个区间[L,R],先计算以右区间[M+1,R]的值代入方程,然后以区间中值M(为什么选M,后面会解释)作为假设的ans,这时我们可以得到一个值tmp,令val=Total

1、如果tmp<Total,说明这个ans选的太大了,我们还需要一个更小的ans,因此递归处理当前区间的[L,M]去找寻更适合的ans,这时递归我们需要让val-=tmp,也就是说,我们只需要传入当前的偏差值进去,在递归到左区间[L,M]时,我们继续选取区间中值ML作为假设的ans,这时我们需要重新计算tmp值,然而当前的Total已经出现了问题(它是根据上一次的假设ans=M计算的),为了修正Total,我们只需在计算tmp时加上前一次减掉的num个M(也就是当前左区间的R,这也是为什么选取M作为假设ans的原因了,我们可以得到上一次的假设ans),然后对当前的假设ans=ML重新计算tmp值,注意,我们要维护一个当前已经选取的竹子数量num,这样我们才可以去计算tmp,计算好tmp值后,继续递归即可

2、如果tmp>Total,说明这个ans选的太小了,我们需要到右区间[M+1,R]去重新寻找合适的假设ans,因此我们保持参数不变递归右区间即可

当我们到达递归终点,L==R时,说明,我们如果选择R为假设值仍然存在偏差val(val可能是0,但这没关系),而选择L-1会导致$\sum\limits_{i=l}^{r}$max(0,h[i]-ans)>Total,

因此我们可以根据这个偏差值val去修正假设的ans=L去得到真正的答案,真正的ans=L-val/(以及选取的所有竹子个数+高为L的竹子个数(以L为假设ans时,我们认为高为L的竹子是没有被砍的))时间复杂度O(nlogn)

AC代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5+;
#define eps 1e-8
struct Node
{
int l,r,num;
ll sum;
}node[maxn*];
int h[maxn],root[maxn],tot;
ll preSum[maxn];
void update(int &x,int y,int l,int r,int val)
{
x=++tot;
node[x]=node[y];
++node[x].num;
node[x].sum+=val;
if(l==r)return;
int m=(l+r)>>;
if(val<=m)update(node[x].l,node[y].l,l,m,val);
else update(node[x].r,node[y].r,m+,r,val);
}
double query(int x,int y,int L,int R,double val,ll num)
{
if(L==R)return L-val/(node[x].num-node[y].num+num);
int m=(L+R)>>;
ll cnt=node[node[x].r].num-node[node[y].r].num;
ll tmp=node[node[x].r].sum-node[node[y].r].sum-cnt*m+num*(R-m);
if(tmp+eps<val)return query(node[x].l,node[y].l,L,m,val-tmp,num+cnt);
return query(node[x].r,node[y].r,m+,R,val,num);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie();
cout.tie();
int n, q;
cin >> n >> q;
for (int i = ; i <= n; i++) {
cin >> h[i];
preSum[i] = preSum[i - ] + h[i];
update(root[i], root[i - ], , 1e5, h[i]);
}
while (q--) {
int l, r, x, y;
cin >> l >> r >> x >> y;
printf("%.12f\n", query(root[r], root[l - ], , 1e5, 1.0 * (preSum[r] - preSum[l - ]) / y * x, ));
}
return ;
}

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