题面:
小澳的葫芦
【 题目描述】
小澳最喜欢的歌曲就是《葫芦娃》。
一日表演唱歌,他尽了洪荒之力,唱响心中圣歌。
随之,小澳进入了葫芦世界。
葫芦世界有 n 个葫芦,标号为 1~ n。 n 个葫芦由 m 条藤连接, 每条藤连接了
两个葫芦, 这些藤构成了一张有向无环图。小澳爬过每条藤都会消耗一定的能量。
小澳站在 1 号葫芦上(你可以认为葫芦非常大,可以承受小澳的体重),他
想沿着藤爬到 n 号葫芦上, 其中每个葫芦只经过一次。
小澳找到一条路径,使得消耗的能量与经过的葫芦数的比值最小。
【 输入格式】
输入文件名为 calabash.in。
输入文件第一行两个正整数 n,m, 分别表示葫芦的个数和藤数。
接下来 m 行,每行三个正整数 u,v,w,描述一条藤,表示这条藤由 u 连向 v,
小澳爬过这条藤需要消耗 w 点能量。
【 输出格式】
输出文件名为 calabash.out。
一行一个实数, 表示答案( 误差不超过 10^-3)。
【 输入输出样例】
calabash.in calabash.out
4 6
1 2 1
2 4 6
1 3 2
3 4 4
2 3 3
1 4 8
2.000【输入输出样例说明】
有 4 种爬法:
1->4,消耗能量 8,经过 2 个葫芦, 比值为 8/2=4。
1->2->4, 消耗能量 1+6=7, 经过 3 个葫芦, 比值为 7/3≈2.33。
1->3->4, 消耗能量 2+4=6, 经过 3 个葫芦, 比值为 6/3=2。
1->2->3->4, 消耗能量 1+3+4=8, 经过 4 个葫芦, 比值为 8/4=2。
所以选第三种或第四种方案, 答案为 2。
【数据规模与约定】
测试点编号 n m 特殊说明
1 2 1
2 100 99 除 1 外,所有葫芦的入度均为 1
3 100 105 所有从 1到 n的路径经过的葫芦数相等
4 100 1000
5 100 1000
6 199 198 除 1 外,所有葫芦的入度均为 1
7 200 231 所有从 1到 n的路径经过的葫芦数相等
8 200 2000
9 200 2000
10 200 2000
对于所有数据,小澳爬过每条藤消耗的能量不会超过 10^3, 且一定存在一条从 1
到 n 的路径。

algorithm1

第一个测试点只有一条边,输出w/2就可以啦。

可以通过第1个测试点。

algorithm2

       注意到“除1外,所有葫芦的入度均为1”,也就是说,从1到n的路径只有一条,输出这一条路径的长度与这条路径上的点数的比值就可以了。

可以通过第1、2、6个测试点。

algorithm3

对于这样一类特殊数据,“所有从1到n的路径经过的葫芦数相等”,也就是说1~n的最短路就是最优路径,最短路的长度与路径上的点数的比值就是答案。

可以通过第1、2、3、6、7个测试点。

algorithm4

       另建一个起点0,连接一条0到1长度为0的边,就此将问题转化为长度和边数最小比值。这个问题的求解需要分数规划。

假设答案为ans,对于任意一条由k条边组成的路径,有:

(w1+w2+w3+…+wk)/k>=ans;

转化一下:

(w1+w2+w3+…+wk) >=ans*k;

即(w1-ans)+(w2-ans)+(w3-ans)+…+(wk-ans)>=0。

于是就得到了这样一个算法:

二分答案x,每次将每一条边的权值减去x求最短路,判断1~n的最短路是否大于0:若大于0,则说明答案ans>x;否则说明ans<x。

这样可以通过所有测试点。

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