[BZOJ2729]:[HNOI2012]排队（组合数学）

题目传送门

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题目描述

某中学有n名男同学，m名女同学和两名老师要排队参加体检。他们排成一条直线，并且任意两名女同学不能相邻，两名老师也不能相邻，那么一共有多少种排法呢？（注意：任意两个人都是不同的）

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输入格式

只有一行且为用空格隔开的两个非负整数n和m，其含义如上所述。

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输出格式

输出文件output.txt仅包含一个非负整数，表示不同的排法个数。注意答案可能很大。

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数据范围与提示

对于30%的数据：n≤100,m≤100
对于100%的数据：n≤2000,m≤2000

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题解

一道组合数学的入门题，还不会组合数学的可以跳转这篇博客：组合数学入门。

ppt上的例题，附带讲解：

将男生和女生混在一起，将女生往里插

如果两个老师在一起，方案数为$A_{n+1}^{n+1}$×$A_{2}^{2}$

两个老师之间必须插进一个女生

将两个老师和一个女生打包成一坨当成一个男生

方案数为m×$A_{n+1}^{n+1}$×$A_{2}^{2}$

剩余m-1个女生，插进n+2个空位中

总方案数为m×$A_{n+1}^{n+1}$×$A_{2}^{2}$×$A_{m-1}^{m-1}$×$C_{n+2}^{m-1}$

如果两个老师不在一起，方案数为$A_{n+2}^{n+2}$-$A_{n+1}^{n+1}$×$A_{2}^{2}$

此时女生随便插，方案数为($A_{n+2}^{n+2}$-$A_{n+1}^{n+1}$×$A_{2}^{2}$)×$A_{m}^{m}$×$C_{n+3}^{m}$

最终答案为：m×$A_{n+1}^{n+1}$×$A_{2}^{2}$×$A_{m-1}^{m-1}$×$C_{n+2}^{m-1}$+($A_{n+2}^{n+2}$-$A_{n+1}^{n+1}$×$A_{2}^{2}$)×$A_{m}^{m}$×$C_{n+3}^{m}$

但是呢？我懒。

这也太麻烦了吧？！

于是，自己推式子：

依然分类讨论：

先讨论两个老师中间只站一个女生，将老师和那个女生看为一个整体：

$A_{m}^{1}$×$A_{n}^{n}$×$A_{n+1}^{1}$×$A_{2}^{2}$×$A_{n+2}^{m-1}$。

接着讨论两个男生中间站一个老师的情况：

$A_{n}^{n}$×$A_{n+1}^{2}$×$A_{n+3}^{m}$。

然后整理化简得：(n²+3×n+2×m)×(n+1)!×(n-m+4)×(n-m+5)×…×(n+2)。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int l=1;
long long ans[100001],flag1,flag2;
void wzc(int x)//高精乘低精
{
    flag2=0;
    for(int i=1;i<=l;i++)
    {
        flag1=ans[i]*x;
        ans[i]=flag1%1000000000000000+flag2;
        flag2=flag1/1000000000000000;
    }
    if(flag2)ans[++l]=flag2;
}
int main()
{
    ans[1]=1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    wzc(n*n+n*3+2*m);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        wzc(i);
    for(int i=n-m+4;i<=n+2;i++)
        wzc(i);
    cout<<ans[l];
    while(--l)
    {
	    cout.fill('0');//不足补0
		cout<<setw(15)<<ans[l];
	}
    return 0;
}

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