[学习笔记]最小割树（Gomory-Hu Tree）

最小割树(\(\mathcal{Gomory-Hu Tree}\))简明指南

对于单源最短路径，我们有\(SPFA\)和\(Dijkstra\)，对于多源最短路径，我们有\(Floyd\)；对于两点间的最小割，我们有\(Dinic\)和\(ISAP\)，那么对于多组最小割的询问呢？

这是板子题：

P4897 【模板】最小割树（Gomory-Hu Tree）

这是教程：

首先有一个定理，就是一个\(n\)个点的图上，两点之间只有\(n\)种本质不同的最小割。因此一定存在一棵树，满足树上两点的最小割等于原图上两点的最小割。我们把这样的树称之为“最小割树”。 --Ebola

下面考虑如何建出这样的一棵树。

首先我们在图中随意选取两个点\(u,v\)，跑出他们之间的最小割\(cut(u,v)\)。那么满流的边就是图中\(u,v\)之间的割。通过这条割我们把图划分成\(u\)所在的部分和\(v\)所在的部分。把\(u\)所在的那一部分的点集记作\(U\)，\(v\)所在的那一部分的点集记作\(V\)。

• 引理：对于任意\(x \in U,y \in V\)，有\(cut(x,y) \leq cut(u,v)\)。
• 证明：假设有\(cut(x,y) > cut(u,v)\)，那么\(cut(u,v)\)就不能把\(u,v\)割开，因为\(x,y\)依然相连。

那么我们在一张你没有玩过的船新图上在\(u,v\)之间建一条值为\(cut(u,v)\)的边。接下来，我们再分别对\(U,V\)集合进行上述的相同操作，也就是在每一集合中找两个点求最小割，再把集合割开成两个...这样，当我们把原图的点的大集合全部割成一个个点集之后，刚好跑了\(n\)次网络流，建了\(n-1\)条边，也就建成了一棵\(Gomory\)-\(Hu \ Tree\)。

• 引理：对于树上的两点\(u,v\)，他们的最小割是他们之间简单路径的最小路径权值。
• 根据上一条引理，显然可得。

那么我们只需要在树上进行查询们就可以得到任意两点的最小割。可以用倍增，也可以用树链剖分。

这是板子：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,node[505],dep[505],fa[505][10],mn[505][10];
int cnt,top[505],to[1005],len[1005],nex[1005];
int read()
{
    int re=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
void add_edge(int x,int y,int z)
{
    to[++cnt]=y,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;
    to[++cnt]=x,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;
}
namespace GHT
{
    int s,t;
    int tot,cur[505],dep[505],col[505],col_bucket[505];
    int cnt=1,top[505],to[3005],cap[3005],flow[3005],nex[3005];
    void add_edge(int x,int y,int z)
    {
        to[++cnt]=y,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;
        to[++cnt]=x,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;
    }
    bool BFS()
    {
        memset(cur,0,sizeof cur);
        memset(dep,0,sizeof dep);
        dep[s]=1,cur[s]=top[s];
        queue<int>Q;
        Q.push(s);
        while(!Q.empty())
        {
            int now=Q.front();Q.pop();
            for(int i=top[now];i;i=nex[i])
                if(!dep[to[i]]&&cap[i]>flow[i])
                {
                    dep[to[i]]=dep[now]+1;
                    cur[to[i]]=top[to[i]];
                    Q.push(to[i]);
                }
        }
        return dep[t]!=0;
    }
    int DFS(int now,int rest)
    {
        if(now==t) return rest;
        int re=0;
        for(int &i=cur[now];i;i=nex[i])
            if(dep[to[i]]==dep[now]+1&&cap[i]>flow[i])
            {
                int lzq=DFS(to[i],min(rest,cap[i]-flow[i]));
                if(lzq)
                {
                    rest-=lzq,re+=lzq;
                    flow[i]+=lzq,flow[i^1]-=lzq;
                    if(!rest) break;
                }
            }
        return re;
    }
    int Dinic(int x,int y)
    {
        int re=0;s=x,t=y;
        for(int i=1;i<=cnt;i++) flow[i]=0;
        while(BFS()) re+=DFS(s,0x3f3f3f3f);
        return re;
    }
    void get_color(int now,int color)
    {
        col[now]=color;
        for(int i=top[now];i;i=nex[i])
            if(cap[i]>flow[i]&&col[to[i]]!=color)
                get_color(to[i],color);
    }
    void build(int l,int r)
    {
        if(l==r) return ;
        int x=node[l],y=node[l+1];
        int cut=Dinic(x,y);
        get_color(x,++tot);
        int L=l,R=r;
        for(int i=l;i<=r;i++)
            if(col[node[i]]==tot) col_bucket[L++]=node[i];
            else col_bucket[R--]=node[i];
        for(int i=l;i<=r;i++) node[i]=col_bucket[i];
        ::add_edge(x,y,cut);
        build(l,L-1);
        build(R+1,r);
    }
}
void dfs(int now)
{
    for(int i=1;i<=9;i++)
    {
        fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
        mn[now][i]=min(mn[now][i-1],mn[fa[now][i-1]][i-1]);
    }
    for(int i=top[now];i;i=nex[i])
    {
        if(to[i]==fa[now][0]) continue;
        dep[to[i]]=dep[now]+1,fa[to[i]][0]=now,mn[to[i]][0]=len[i];
        dfs(to[i]);
    }
}
int getcut(int x,int y)
{
    int re=INT_MAX;
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=9;i>=0;i--) if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) re=min(re,mn[x][i]),x=fa[x][i];
    if(x==y) return re;
    for(int i=9;i>=0;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) re=min(re,min(mn[x][i],mn[y][i])),x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return min(re,min(mn[x][0],mn[y][0]));
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    while(m--)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        GHT::add_edge(x,y,z);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;
    GHT::build(1,n);
    dep[1]=1;
    dfs(1);
    m=read();
    while(m--)
    {
        int x=read(),y=read();
        printf("%d\n",getcut(x,y));
    }
    return 0;
}