[Cqoi2015] 编号【逆向思维，暴力枚举】

Online Judge：Luogu-P4222

Label：逆向思维，暴力枚举

题目描述

你需要给一批商品编号，其中每个编号都是一个7位16进制数（由0~9, a-f组成）。为了防止在人工处理时不小心把编号弄错，要求任意两个编号至少有三个位置对应的数字不相同。第一个编号为0000000，第二个编号为不违反上述规定的前提下最小的编号，…，每次分配一个新编号时，总是选择不和前面编号冲突的最小编号（注意编号都是16进制数，可以比较大小）。按此规律，前面若干编号分别是：0000000, 0000111, 0000222, …, 0000fff, 0001012, 0001103,0001230,0001321,0001456,…

输入k，你的任务是求出第k小的编号。

输入

第一行为整数k。

输出

输出第k小的编号（字母必须输出小写）。输入保证这个编号存在。

样例

Input

Output

Hint

对于30%的数据，$k \leq 200$；

对于70%的数据，$k \leq 10000$；

对于100%的数据，$k \leq 200000$。

题解

第一眼以为二分答案，但是发现每个值都依赖于前面的数字。需要依次求解。

30pts：

直接暴力枚举16进制数，检验时，暴力与前面的数比较。

时间复杂度为$O(Ans+K^2*7)$。其中从小到大枚举数字共$Ans$次，每次检验时与前面的数字一位一位比较。

70pts：

尝试打表找规律，然后你会发现，除了最后两个16进制位规律比较迷之外，剩下的前面5位规律都是显而易见的。所以直接打表后面两个位（如果代码长度限制允许的情况下），可以在O(1)时间内求解。

100pts：

这个数据范围显然如果按刚才的方案去打表不太可行（但这题也有很多其他能够AC的神奇打表+哈希做法）。下面是一种比较简洁的做法：

回到30分做法，显然还是需要依次求解，那就尝试优化后面的比较部分。采用逆向思维，当前数字与前面的数字比较，就算枚举都要O(N)，不可做；那就尝试用当前的数，对后面合法/不合法的数字打上标记。

原题面：至少要有3个对应位不同，才合法；

其实就是：只要存在至少5个对应位相同，就不合法。

比较相同显然比比较不同可做很多。对于当前弄到的一个合法数字，我们利用组合，按顺序挑出7个中的5个，将这个组合$mark$了，注意，由于要控制对应位，还得记录下这是$C_7^5=21$中的第几个组合。

对应的，当判断当前这个数字合不合法时，也是按顺序挑出7个中的5个，如果被$mark$了则表示这个数字不合法；反之如果所有组合都没被$mark$过，表示这个数字合法。

综上，每次枚举时都可以在$C_7^5$的时间内判断是否合法。

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>

#define For(a,b,c) for(a=b;a<=c;a++)

using namespace std;

int n,x[10],a,b,c,d,e,f;

bool mark[22][16][16][16][16][16];

inline void out(int c){putchar(c<=9?c+'0':c-10+'a');}

inline bool insert(){

	register int id=0;

	For(a,0,6)For(b,a+1,6)For(c,b+1,6)For(d,c+1,6)For(e,d+1,6){

		if(mark[++id][x[a]][x[b]][x[c]][x[d]][x[e]])return 0;

	}

	id=0;

	For(a,0,6)For(b,a+1,6)For(c,b+1,6)For(d,c+1,6)For(e,d+1,6){

		mark[++id][x[a]][x[b]][x[c]][x[d]][x[e]]=1;

	}

}

int main(){

	scanf("%d",&n);

	For(x[0],0,15)For(x[1],0,15)For(x[2],0,15)For(x[3],0,15)

	For(x[4],0,15)For(x[5],0,15)For(x[6],0,15)if(insert()){

		if(!--n){

			int i;For(i,0,6)out(x[i]);

			return 0;

		}

	}

}