ZOJ 4082 Little Sub and his Geometry Problem题解

题意

f(u,v)：x小于等于u且y小于等于v的点才对f有贡献，每个这样的点贡献(u-x)+()

思路

=f(u_2,v_2)" class="mathcode" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?u_1%20%5Cge%20u_2%20%5C%3B%20and%20%5C%3B%20v_1%20%5Cge%20v_2%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20f%28u_1%2Cv_1%29%3E%3Df%28u_2%2Cv_2%29">

且等号当且仅当时取。

因此对于输入的0)" class="mathcode" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?C%28C%3E0%29">,对于1个特定的,至多有一个似的. （标号①）

当我们固定一个变量的时候，关于另一个变量是单调的。 （标号②）

因此，我选择横竖两条线移动。

初始状态u=0,v=N.此时f值显然过小。

对于一个状态，

如果f过小，则只能往竖线右调，f才可能增大。

如果f过大，则只能横线往下调。

如果f刚好，答案计数加1，同时，这个u已经不可能有v符合了。往右调（其实往下调也行，关键是要固定一种走法）。

f过小时，v往上调是没有意义的，因为初始状态是v所能取的最大值（N），能到达目前的状态，是从前面的太大或者已经计数过的答案状态转移过来的。往上调就是是走回头路，回去要不就是f过大，要不就是已经计数了的恰好等于f的状态。

同理,f过大时，竖线左调是没有意义的。

同时根据（标号①）的结论易证，不会有情况疏漏掉。

换句话说，如此移动，不重不漏，至多移动2N次。

具体可以参考C++源码

注意，getCount不要用二分，直接枚举就好了。

二分反而会更慢，慢原因是二分需要先排序，排序是,是排序数组片段长度。

而注意到getCount(u,v)每一个u至多查询1次，直接枚举是，反而复杂度更低。

复杂度估计，由于每个片段至多查询一次，且最坏情况下所有片段都查询了。因此对于一个输入C，总的复杂度是.

有个2倍是因为对反过来的rp也要考虑。

因此总复杂度是

不考虑系数，大概带入数字算一下。不超过20*10*10^5+(1000-20)*10*10^4=1.18*10^8.

4s时间限制是OK的。

源码

java（Tle）

java一开始我的java jdk时1.8.ZOJ评测时1.7.莫名RE

后来用1.7，还是莫名RE.

最后故意加死循环，提交。二分测试发现ZOJ Java switch不支持枚举型变量。黑人问号。

最后无奈改成if语句，然后从Re变成Tle了。根据网上的进行了输入输出优化还是不行。

import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
    static StreamTokenizer cin = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
    static PrintWriter cout = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    public static void main(String[] args) {
        try {
            cin.nextToken();
            int cnt = (int) cin.nval;
            LittleSubAndHisGeometryProblem p;
            for (int i = 0;i < cnt; ++i) {
                p = new LittleSubAndHisGeometryProblem();
                p.run();
            }
            cout.flush();
        } catch (Exception e) {

        }
    }
}

class LittleSubAndHisGeometryProblem{
    final int N;
    int pointCnt;
    PointsSys normal;
    PointsSys reverse;
    int queryCnt;

    LittleSubAndHisGeometryProblem() throws Exception {

        Main.cin.nextToken();
        N = (int)Main.cin.nval;

        Main.cin.nextToken();

        pointCnt = (int)Main.cin.nval;

        // 做准备工作，方便满足“a=a0,b<=b0的点的个数及他们的b之和”
        normal = new PointsSys();
        reverse = new PointsSys();
        int x,y;
        for (int i = 0;i < pointCnt; ++i) {
            Main.cin.nextToken();
            x = (int)Main.cin.nval;
            Main.cin.nextToken();
            y = (int)Main.cin.nval;
            normal.add(x,y);
            reverse.add(y,x);
        }

        Main.cin.nextToken();
        queryCnt = (int)Main.cin.nval;
    }

    class PointSysQueryInfo{
        int cnt = 0;
        long sum = 0;
        void add(long a) {
            ++cnt;
            sum += a;
        }
    }

    class PointsSys{
        int cnt;
        ArrayList<ArrayList<Integer>> p;

        PointsSys() {
            p = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
            for (int i = 0;i <= N; ++i)
                p.add(new ArrayList<Integer>());
        }

        void add(int x,int y) {
            p.get(x).add(y);
        }

        void query(int x,int y,PointSysQueryInfo change) {
            // 返回X值恰好为x,且Y值小于等于y的所有点的信息
            // 返回点数和sigama(y-Yi) Yi取遍所有的满足要求的点的Y
            change.cnt = 0;
            change.sum = 0;
            ArrayList<Integer> list = p.get(x);
            for (int Y : list)
                if (Y <= y)
                    change.add(y-Y);
        }
    }

    public enum Move{
        Right,Down
    }

    void count() {
        // 求解符合题意的方案数
        queryAns = 0;
        if (2L*N*pointCnt <= c)
            return;
        int u = 0;
        int v = N;
        PointSysQueryInfo curr = new PointSysQueryInfo();
        PointSysQueryInfo change = new PointSysQueryInfo();
        Move moveFlag = Move.Right;
        //boolean first = true;
        while (u <= N && v > 0) {
            if (curr.sum == c)
                ++queryAns;
            if (moveFlag == Move.Right) { // Go Right
                ++u;
                if (u > N) return;
                normal.query(u, v ,change);
                curr.sum += change.sum + curr.cnt;
                curr.cnt += change.cnt;
            } else { // Go Down
                if (v <= 0) return;
                reverse.query(v,u,change);
                --v;
                curr.cnt -= change.cnt;
                curr.sum -= change.sum+curr.cnt;
            }
            if (curr.sum >= c)
                moveFlag = Move.Down;
            else
                moveFlag = Move.Right;
        }
        return;
    }

    long c;
    int queryAns;
    void run() throws Exception {
        boolean first = true;

        for (int i = 0; i < queryCnt; ++i) {

            Main.cin.nextToken();
            c = (long)Main.cin.nval;

            count();
            if (first) {
                Main.cout.print(queryAns);
                first = false;
            } else {
                Main.cout.print(" "+queryAns);
            }
        }
        Main.cout.println();
    }
}

C++ （AC）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int kMaxN = 100005;
int N,K;
vector<int>p[kMaxN];
vector<int>rp[kMaxN];

void getCount(vector<int>&p,int b,int &cnt,long long &s) {
	cnt = 0;
	s = 0;
	for (auto y : p)
		if (y <= b) {
			++cnt;
			s += b-y;
		}
}

int count(long long c) {
	if (c >= 2ll*(long long)N*(long long)K)
		return 0;
	int u = 0;
	int v = N;
	int ans = 0;
	bool isGoRight = true;
	long long f,f0;
	int cnt,cnt0;
	f = 0; cnt = 0;
	while (u <= N && v >= 1) {
		if (f == c)
			++ans;
		if (isGoRight) { // Go Right
			++u;
			getCount(p[u],v,cnt0,f0);
			f += f0+(long long)cnt;
			cnt += cnt0;
		} else { // Go Down
			getCount(rp[v],u,cnt0,f0);
			--v;
			cnt -= cnt0;
			f -= f0+(long long)cnt;
		}
		isGoRight = f < c;
	}
	return ans;
}

void work() {
	cin>>N>>K;
	for (int i = 0; i <= N; ++i) {
		p[i].clear();
		rp[i].clear();
	}
	int x,y;
	for (int i = 0;i < K; ++i) {
		cin>>x>>y;
		p[x].push_back(y);
		rp[y].push_back(x);
	}
	int Q;
	cin>>Q;
	long long c;
	int ans;
	for (int i = 0; i < Q; ++i) {
		cin>>c;
		ans = count(c);
		if (i)
			cout<<' '<<ans;
		else
			cout<<ans;
	}
	cout<<'\n';
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int T;
	cin>>T;
	while (T--)
		work();
	return 0;
}