洛谷P4126 [AHOI2009]最小割

题目：洛谷P4126 [AHOI2009]最小割

思路：

结论题

在残余网络上跑tarjan求出所有SCC，记id[u]为点u所在SCC的编号。显然有id[s]!=id[t]（否则s到t有通路，能继续增广）。

对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当id[u]!=id[v]；

对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当id[u] == id[s]且id[v] == id[t]。

证明：

①将每个SCC缩成一个点，得到的新图就只含有满流边了。那么新图的任一s-t割都对应原图的某个最小割，从中任取一个把id[u]和id[v]割开的割即可证明。

②假设将(u,v)的边权增大，那么残余网络中会出现s->u->v->t的通路，从而能继续增广，于是最大流流量（也就是最小割容量）会增大。这即说明(u,v)是最小割集中必须出现的边。

上述解释已经比较清楚，思维能力有限，还没有想到更好的解释方法，因此不再过多解释。

注意残量网络是指代码中实际建出的图，在跑完最大流之后所有边权大于0的边构成的子图，其中存在反向弧。

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Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t,d[N];
int tim,tp,scc_num,st[N],dfn[N],low[N],belong[N];
int Top=1,ver[N],val[N],nxt[N],head[N];
inline void add(int u,int v,int w){
	ver[++Top]=v;val[Top]=w;nxt[Top]=head[u];head[u]=Top;
	ver[++Top]=u;val[Top]=0;nxt[Top]=head[v];head[v]=Top;
}
bool bfs(){
	for(int i=1;i<=n;++i) d[i]=0;
	queue<int> q;
	q.push(s);
	d[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
			int v=ver[i];
			if(val[i]&&!d[v]){
				d[v]=d[u]+1;
				if(v==t) return true;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return false;
}
int dfs(int u,int flow){
	if(u==t) return flow;
	int left=flow;
	for(int i=head[u];i&&left;i=nxt[i]){
		int v=ver[i];
		if(val[i]&&d[v]==d[u]+1){
			int res=dfs(v,min(left,val[i]));
			if(!res) d[v]=0;
			val[i]-=res;
			val[i^1]+=res;
			left-=res;
		}
	}
	return flow-left;
}
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++tim;
	st[++tp]=u;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
		int v=ver[i];
		if(!val[i]) continue;//注意此处 在残量网络中tarjan
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(!belong[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		++scc_num;
		int t;
		do{
			t=st[tp--];
			belong[t]=scc_num;
		} while(t!=u);
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
	}
	while(bfs()) dfs(s,inf);
	for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for(int i=2;i<=Top;i+=2){
		int u=ver[i^1],v=ver[i];
		if(!val[i]&&belong[u]!=belong[v]) printf("%d ",1);
		else printf("%d ",0);
		if(!val[i]&&belong[u]==belong[s]&&belong[v]==belong[t]) printf("%d",1);
		else printf("%d",0);
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}