[gym102511K]Traffic Blights

为了方便，对于集合$S$，称$k\equiv S(mod\ M)$当且仅当存在$x\in S$使得$k\equiv x(mod\ M)$

枚举红绿灯，对每一个点即限制$k$对$g_{i}+r_{i}$取模后的结果，同时相邻两个红绿灯限制相差是$o(1)$的，即可以提取出以下这个模型——

$n$次操作，每次操作给定$M$和$S\subseteq [0,M)$，新增限制$k\not\equiv S(mod\ M)$

每次操作后，求随机整数$k$满足当前所有限制的概率

数据范围为$1\le n\le 500$，$1\le M\le 100$

令$X=2^{3}\times 3^{2}\times 5\times 7$，那么$\forall 1\le M\le 100,\frac{M}{\gcd(M,X)}$为一个素数的幂次或1

枚举随机整数$k$对$X$取模的余数$a$（$0\le a<X$），求出在满足给定限制下还满足$k\equiv a(mod\ X)$的概率，将这些概率累加即为答案

令$k=a+tX$，问题即变为对于随机整数$t$，$a+tX$满足所有限制的概率，代入后限制$k\not\equiv S(mod\ M)$即可转换为$\frac{X}{g}t\not\equiv S'(mod\ \frac{M}{g})$

（其中$g=\gcd(M,X)$，$S'=\{\frac{x}{g}\mid (g\mid x)\and (x+a\equiv S(mod\ M))\}$）

由于$\gcd(\frac{M}{g},\frac{X}{g})=1$，再令$S'$所有元素乘上$\frac{X}{g}$在模$\frac{M}{g}$意义下的逆元，即$t\not\equiv S'(mod\ \frac{M}{g})$

根据$X$的性质，$\frac{M}{g}$必然是素数的幂次或1，假设是$p$的幂次，不妨转换为$p^{\lfloor\log_{p}100\rfloor-ord_{p}(X)}$，此时相同素数的幂次必然都相同，直接对$S'$求并即可

（从同余的角度更容易理解此过程，但不同余方便实现）

最终，模数两两互素，每一个概率相乘即为答案

时间复杂度每一次都需要$o(MX)$去转化这个限制，总复杂度即$o(nMX)$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 105
 4 #define X 2520
 5 struct del{
 6     int i,P,x;
 7 };
 8 vector<int>v;
 9 vector<del>v_del;
10 int    n,x,r,g,p[N],visp[N],phi[N],tot[X][N],vis[X][N][N];
11 double ans;
12 int gcd(int x,int y){
13     if (!y)return x;
14     return gcd(y,x%y);
15 }
16 int pow(int n,int m,int mod){
17     int s=n,ans=1;
18     while (m){
19         if (m&1)ans=ans*s%mod;
20         s=s*s%mod;
21         m>>=1;
22     }
23     return ans;
24 }
25 void add(int p,int m,vector<int>v){
26     int g=gcd(m,X),mm=m/g,P=mm,inv=pow(X/g,phi[mm]-1,mm);
27     if (P%2==0)P=8;
28     if (P%3==0)P=9;
29     for(int i=0;i<X;i++)
30         for(int j=0;j<v.size();j++){
31             int x=(v[j]-i%m+m)%m;
32             if (x%g)continue;
33             x=x/g*inv%mm;
34             for(int k=0;k<P/mm;k++)
35                 if (!vis[i][P][k*mm+x]){
36                     tot[i][P]++;
37                     vis[i][P][k*mm+x]=1;
38                     if (p)v_del.push_back(del{i,P,k*mm+x});
39                 }
40         }
41     ans=0;
42     for(int i=0;i<X;i++){
43         double s=1;
44         for(int j=1;j<=100;j++)s*=1.0*(j-tot[i][j])/j;
45         ans+=s;
46     }
47     while (v_del.size()){
48         del o=v_del.back();
49         tot[o.i][o.P]--;
50         vis[o.i][o.P][o.x]=0;
51         v_del.pop_back();
52     }
53 }
54 int main(){
55     phi[1]=1;
56     for(int i=2;i<N;i++){
57         if (!visp[i]){
58             p[++p[0]]=i;
59             phi[i]=i-1;
60         }
61         for(int j=1;(j<=p[0])&&(i*p[j]<N);j++){
62             visp[i*p[j]]=1;
63             if (i%p[j])phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
64             else{
65                 phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
66                 break;
67             }
68         }
69     }
70     scanf("%d",&n);
71     for(int i=1;i<=n;i++){
72         scanf("%d%d%d",&x,&r,&g);
73         v.clear();
74         for(int j=0;j<r+g;j++)
75             if ((j+x)%(r+g)>=r)v.push_back(j);
76         add(1,r+g,v);
77         printf("%.9f\n",ans/X);
78         v.clear();
79         for(int j=0;j<r+g;j++)
80             if ((j+x)%(r+g)<r)v.push_back(j);
81         add(0,r+g,v);
82     }
83     printf("%.9f",ans/X);
84 }