Solution -「ARC 110E」Shorten ABC

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定长度为 \(n\)，包含 A, B, C 三种字符的字符串 \(S\)，定义一次操作为将其中相邻两个不相同的字符替换为字符集中不同于这两个字符的另一种字符。求任意次操作后得到的不同字符串个数，答案对 \(10^9+7\) 取模。

  \(n\le10^6\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  我们希望探究此种替换操作的结合性，trick 为将字符集替换为数字集，将操作表达为数字间的运算。对于本题，令 A, B, C 为 \(1,2,3\)，那么替换操作等价于将相邻两数替换为其异或和，于是就能预处理前缀异或和来求出一段区间操作后的结果。

  接下来就能 DP 啦，令 \(f(i)\) 表示 \(S\) 前 \(i\) 个字符构成串的答案，枚举操作得到的串的下一个字符即可转移。最终答案为所有满足原串中后缀异或和为 \(0\) 的 \(f(i)\) 之和。

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rpbound##i = r; i <= rpbound##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, rpbound##i = l; i >= rpbound##i; --i )

const int MAXN = 1e6, MOD = 1e9 + 7;
int n, f[MAXN + 5], sum[MAXN + 5], nxt[MAXN + 5][4];
char s[MAXN + 5];

inline void addeq ( int& a, const int b ) { ( a += b ) >= MOD && ( a -= MOD, 0 ); }

int main () {
	scanf ( "%d %s", &n, s + 1 );
	bool flg = false;
	rep ( i, 1, n ) if ( ( flg = s[i] != s[1] ) ) break;
	if ( !flg ) return puts ( "1" ), 0;
	rep ( i, 1, n ) sum[i] = sum[i - 1] ^ ( s[i] - 'A' + 1 );
	rep ( j, 0, 3 ) nxt[n][j] = n + 1;
	per ( i, n, 1 ) {
		rep ( j, 0, 3 ) nxt[i - 1][j] = nxt[i][j];
		nxt[i - 1][sum[i]] = i;
	}
	f[0] = 1;
	int ans = 0;
	rep ( i, 0, n - 1 ) {
		rep ( j, 0, 3 ) if ( sum[i] ^ j ) {
			addeq ( f[nxt[i][j]], f[i] );
		}
		if ( sum[i + 1] == sum[n] ) addeq ( ans, f[i + 1] );
	}
	printf ( "%d\n", ans );
	return 0;
}