【BZOJ2005】【NOI2010】能量采集（莫比乌斯反演，容斥原理）

题面

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

【样例输出2】

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

观察

对于点对\((i,j)\)而言

中间的点的个数是\(gcd(i,j)-1\)

所以，答案就是

\[2\times\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-n*m
\]

中间的那坨东西很容易可以用莫比乌斯反演解出

所以，总的复杂度是\(O(n\sqrt n)\)

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define MAX 110000

#define ll long long

inline int read()

{

	int x=0,t=1;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return x*t;

}

int n,m;

int tot,pri[MAX];

ll mu[MAX],F[MAX],f[MAX],ans;

bool zs[MAX];

void Mu()

{

	zs[1]=mu[1]=1;

	for(int i=2;i<=n;++i)

	{

		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;

		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)

		{

			zs[i*pri[j]]=true;

			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];

			else{mu[i*pri[j]]=0;break;}

		}

	}

}

int main()

{

	n=read();m=read();

	if(n>m)swap(n,m);

	Mu();

	for(int i=1;i<=n;++i)F[i]=1ll*(n/i)*(m/i);

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=i;j<=n;j+=i)

			f[i]+=1ll*mu[j/i]*F[j];

	for(int i=1;i<=n;++i)ans+=1ll*f[i]*i;

	ans=ans*2-1ll*n*m;

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}