【BZOJ2005】【NOI2010】能量采集(莫比乌斯反演,容斥原理)
【BZOJ2005】【NOI2010】能量采集(莫比乌斯反演,容斥原理)
题面
Description
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。
Input
仅包含一行,为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
题解
观察
对于点对\((i,j)\)而言
中间的点的个数是\(gcd(i,j)-1\)
所以,答案就是
\]
中间的那坨东西很容易可以用莫比乌斯反演解出
所以,总的复杂度是\(O(n\sqrt n)\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 110000
#define ll long long
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int n,m;
int tot,pri[MAX];
ll mu[MAX],F[MAX],f[MAX],ans;
bool zs[MAX];
void Mu()
{
zs[1]=mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
{
zs[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
else{mu[i*pri[j]]=0;break;}
}
}
}
int main()
{
n=read();m=read();
if(n>m)swap(n,m);
Mu();
for(int i=1;i<=n;++i)F[i]=1ll*(n/i)*(m/i);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=i;j<=n;j+=i)
f[i]+=1ll*mu[j/i]*F[j];
for(int i=1;i<=n;++i)ans+=1ll*f[i]*i;
ans=ans*2-1ll*n*m;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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