完全背包问题入门 （dp）

问题描述：

有n种重量和价值分别为Wi,Vi的物品，从这些中挑选出总重量不超过W的物品，求出挑选物品的价值总和的最大值，每种物品可以挑选任意多件。

分析：

令dp[i+1][j]表示从前i件物品中挑选总重量不超过j时总价值的最大值。则递推关系为：

dp[0][j]=0;

dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-kw[i]]+kv[i]);

核心代码可以表示为：

int dp[100][100];
void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<W;j++)
        for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
        dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);
}

这是一个三重的for循环，我们可以通过变形将上面的一重k循环去掉，那么上面的程序就变为：

int dp[100][100];
void solve()
{
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<W; j++)
        {
            if(j<w[i])
                dp[i+1][j]=dp[i][j];
            else
                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
}

此外，01背包和完全背包问题都可以转化为一维的问题来实现，

01背包的情况：

int dp[100];
void solve()
{
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=W; j>=w[i]; j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
}

完全背包的情况：

int dp[100];
void solve()
{
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=w[i];j<=W;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
}