传送门

题意

有 $ 2n $ 个球排成一行,其中恰好有 $ n $ 个白球和 $ n $ 个黑球。每个球上写着数字,其中白球上的数字的并集为 $ \lbrace 1 \dots n\rbrace $ ,黑球上的数字的并集也为 $ \lbrace 1 \dots n\rbrace $ 。

你可以交换任意两个相邻的球若干次,以使得对于所有白球,数字大小从左到右递增,黑球也是一样。

问你最少的交换次数。$ (n \leq 2000) $

题解

如果所有球最后的位置 $ P(i) $ 已经确定,那么最少交换次数 $ ans $ 为:

\[ans = \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=i+1}^{2n} [P(i) > P(j)]
\]

也就是相对位置改变了的球对 $ (i,j) $ 的个数。

然后考虑如何dp。

由于白球和黑球内部,数字大小递增,所以可以考虑从左到右依次填球。

$ dp[i][j] $ 表示已经从左到右填了 $ i $ 个白球,$ j $ 个黑球,此时的最小代价。

则最终答案就是 $ dp[n][n] $

然后考虑如何转移。

对于 $ dp[i][j] $ 来说,接下来要么填一个白球,要么填一个黑球。

设 $ costw[i][j] $ 表示已经填了 $ i $ 个白球,$ j $ 个黑球,该填第 $ i+1 $ 个白球,会增加的代价。

同理 $ costb[i][j] $ 表示已经填了 $ i $ 个白球,$ j $ 个黑球,该填第 $ j+1 $ 个黑球,会增加的代价。

则有转移:

\[dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+costw[i-1][j],dp[i][j-1]+costb[i][j-1])
\]

边界条件为 $ dp[0][0] = 0 $

dp的复杂度为 $ O(n^2) $

对于 $ cost $ 数组来说,同样可以 $ O(n^2) $ 预处理。

首先可以 $ O(n^2) $ 暴力处理出所有 $ cost[i][0] $ 和 $ costb[0][j] $

设 $ P_w[i] $ 表示写着数字 $ i $ 的白球的初始位置,$ P_b[i] $ 表示写着数字 $ i $ 的黑球的初始位置。

则对于 $ cost $ 数组来说,有如下递推:

\[costw[i][j] = costw[i][j-1] + [P_b[j] > P_w[i+1]]
\]

\[costb[i][j] = costb[i-1][j] + [P_w[i] > P_b[j+1]]
\]

所以预处理总复杂度也是 $ O(n^2) $ 的。

AC Code

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 2005 using namespace std; int n;
int pw[MAX_N];
int pb[MAX_N];
int dp[MAX_N][MAX_N];
int costw[MAX_N][MAX_N];
int costb[MAX_N][MAX_N]; void read()
{
scanf("%d",&n);
char s[4]; int x;
for(int i=1;i<=(n<<1);i++)
{
scanf("%s%d",s,&x);
if(s[0]=='W') pw[x]=i;
else pb[x]=i;
}
} void cal_c()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=1;j<=i;j++) costw[i][0]+=(pw[j]>pw[i+1]);
for(int j=1;j<=n;j++) costw[i][j]=costw[i][j-1]+(pb[j]>pw[i+1]);
}
for(int j=0;j<n;j++)
{
for(int i=1;i<=j;i++) costb[0][j]+=(pb[i]>pb[j+1]);
for(int i=1;i<=n;i++) costb[i][j]=costb[i-1][j]+(pw[i]>pb[j+1]);
}
} void cal_dp()
{
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
dp[0][0]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=n;j++)
{
if(i) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+costw[i-1][j]);
if(j) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+costb[i][j-1]);
}
}
} void work()
{
cal_c();
cal_dp();
printf("%d\n",dp[n][n]);
} int main()
{
read();
work();
}

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