大素数判断和素因子分解（miller-rabin，Pollard_rho算法） 玄学快

大数因数分解Pollard_rho 算法

复杂度o^(1/4)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;

const int times = ;
int number = ;

map<long long, int>m;
long long Random( long long n )
{
    return ((double)rand( ) / RAND_MAX*n + 0.5);
}

long long q_mul( long long a, long long b, long long mod ) //快速乘法取模
{
    long long ans = ;
    while(b)
    {
        if(b & )
        {
            ans += a;
        }
        b /= ;
        a = (a + a) % mod;

    }
    return ans;
}

long long q_pow( long long a, long long b, long long mod ) //快速乘法下的快速幂，叼
{
    long long ans = ;
    while(b)
    {
        if(b & )
        {
            ans = q_mul( ans, a, mod );
        }
        b /= ;
        a = q_mul( a, a, mod );
    }
    return ans;
}

bool witness( long long a, long long n )//miller_rabin算法的精华
{
    long long tem = n - ;
    int j = ;
    while(tem %  == )
    {
        tem /= ;
        j++;
    }

    long long x = q_pow( a, tem, n ); //得到a^(n-1) mod n
    if(x ==  || x == n - ) return true;
    while(j--)
    {
        x = q_mul( x, x, n );
        if(x = n - ) return true;
    }
    return false;
}

bool miller_rabin( long long n )  //检验n是否是素数
{

    if(n == )
        return true;
    if(n <  || n %  == )
        return false;

    for(int i = ; i <= times; i++)  //做times次随机检验
    {
        long long a = Random( n -  ) + ; //得到随机检验算子 a
        if(!witness( a, n ))  //用a检验n是否是素数
            return false;
    }
    return true;
}

long long gcd( long long a, long long b )
{
    if(b == )
        return a;
    return gcd( b, a%b );
}

long long pollard_rho( long long n, long long c )//找到n的一个因子
{
    long long x, y, d, i = , k = ;
    x = Random( n -  ) + ;
    y = x;
    while()
    {
        i++;
        x = (q_mul( x, x, n ) + c) % n;
        d = gcd( y - x, n );
        if(<d&&d<n)
            return d;
        if(y == x)//找到循环，选取失败，重新来
            return n;
        if(i == k) //似乎是一个优化，但是不是很清楚
        {
            y = x;
            k <<= ;
        }
    }
}

void find( long long n, long long c )
{
    if(n == )
        return;
    if(miller_rabin( n ))
    {
        m[n]++;
        number++;
        return;
    }

    long long p = n;
    while(p >= n)
        p = pollard_rho( p, c-- );
    find( p, c );
    find( n / p, c );
}

int main( )
{
    long long tar;
    while(cin >> tar)
    {
        number = ;
        m.clear();
        find( tar,  );
        printf( "%lld = ", tar );
        if(m.empty())
        {
            printf( "%lld\n", tar );
        }
        for(map<long long, int>::iterator c = m.begin(); c != m.end();)
        {
            printf( "%lld^%d", c->first, c->second );
            if((++c) != m.end())
                printf( " * " );
        }
        printf( "\n" );
    }
    return ;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;
long long factor[];
int tot;
const int S=;

long long mult(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=;
    while(b)
    {
        if(b&)
        {
            ret=(ret+a)%c;
        }
        b>>=;
        a<<=;
        if(a>=c)a%=c;
    }
    return ret;
}

long long pow(long long x,long long n,long long mod)
{
    if(n==)return x%mod;
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=;
    while(n)
    {
        if(n&)
        {
            ret=mult(ret,tmp,mod);
        }
        tmp=mult(tmp,tmp,mod);
        n>>=;
    }
    return ret;
}

bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=;i<=t;i++)
    {
        ret=mult(ret,ret,n);
        if(ret==&&last!=&&last!=n-)return true;//是合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=)return true;
    return false;
}

bool miller_rabin(long long n)//判素数
{
    if(n<)return false;
    if(n==) return true;
    if((n&)==)return false;
    long long x=n-;
    long long t=;
    while((x&)==)
    {
        x>>=;
        t++;
    }
    for(int i=;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-)+;
        if(check(a,n,x,t))//如果检查出来是合数
        return false;
    }
    return true;
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==)return ;
    if(a<)return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long pollard_rho(long x,long long c)
{
    long long i=,k=;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while()
    {
        i++;
        x0=(mult(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=&&d!=x)return d;
        if(y==x0)return x;
        if(i==k)
        {
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}
    void findphi(long long n)
    {
        if(miller_rabin(n))
        {
            factor[tot++]=n;
            return;
        }
        long long p=n;
        while(p>=n)
        {
            p=pollard_rho(p,rand()%(n-)+);

        }
        findphi(p);
        findphi(n/p);
    }

    int main()
    {
        long long n;
        while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
        {
            tot=;
            findphi(n);
            for(int i=;i<tot;i++)
            printf("%I64d",factor[i]),printf("\n");
            if(miller_rabin(n))printf("yes\n");
            else printf("no\n");
        }
        return ;
    }

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小

//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
//  a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=;
    while(b)
    {
        if(b&){ret+=a;ret%=c;}
        a<<=;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=;
    }
    return ret;
}

//计算  x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
    if(n==)return x%mod;
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=;
    while(n)
    {
        if(n&) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=;
    }
    return ret;
}

//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow_mod(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==&&last!=&&last!=n-) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;

bool Miller_Rabin(long long n)
{
    if(n<)return false;
    if(n==)return true;
    if((n&)==) return false;//偶数
    long long x=n-;
    long long t=;
    while((x&)==){x>>=;t++;}
    for(int i=;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-)+;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}

//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==)return ;//???????
    if(a<) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
    long long i=,k=;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while()
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
    if(Miller_Rabin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    long long p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-)+);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}

int main()
{
    //srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话
    long long n;
    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
    {
        tol=;
        findfac(n);
        for(int i=;i<tol;i++)printf("%I64d ",factor[i]);
        printf("\n");
        if(Miller_Rabin(n))printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return ;
}

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