[BZOJ 1407] Savage
Link:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1407
Solution:
由于此题里n的范围很小,因此可以直接从小到大枚举m
那么问题转化为一个判定型问题:已知m,求是否会发生冲突
由于$O(m \cdot n^2)$的复杂度符合要求,枚举每一对(i,j)是否会发生冲突即可
可将问题转化为求同余式中最小的x
\[(step_i-step_j)x\equiv pos_j-pos_i(\mod m)\]
接下来就是数论里的套路了:
$ax \equiv b(\mod c)$可以转化为求$ax+cy=b$,我们可以用扩展欧几里得求出x,y值,同时顺便求出GCD。
设$k=c/gcd(a,c)$,$d=gcd(a,c)$
那么方程$ax \equiv b(\mod c)$的一个特解:$x_0=x \cdot (b/d)\mod c$。
(如果b不是d的倍数则无解)
并且它的d个解分别为:$x_i=(x_0+i*k)\mod c (i \in 0,1,2,.....d-1)$。
推导:
$$ax+cy=b$$
$$ax_0+cy_0=b$$
$$a(x-x_0) = c(y_0-y)$$
$$a/d(x-x_0) = c/d(y_0-y)$$
由于$$c/d\mid (x-x_0)$$
所以$$x = x_0+c/d*n$$
则方程ax≡b(mod c)的最小解为:$(x_0\mod k+k)\mod k$
Code:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std;
const int MAXN=; int n,c[MAXN],p[MAXN],l[MAXN]; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b){x=;y=;return a;}
int ret=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
x=y;y=t-a/b*y;return ret;
} bool check(int m)
{
for(int i=;i<n;i++)
for(int j=i+;j<=n;j++)
{
int A=p[i]-p[j],B=c[j]-c[i],x,y,GCD=exgcd(A,m,x,y);
if(B%GCD) continue;
x=((x*B/GCD)%(m/GCD)+abs(m/GCD))%(m/GCD);
if(x<=min(l[i],l[j])) return false;
}
return true;
} int main()
{
cin >> n;int mx=;
for(int i=;i<=n;i++)
cin >> c[i] >> p[i] >> l[i],mx=max(mx,c[i]);//找到最小的初始值 for(int i=mx;i<=1e6;i++) if(check(i)) return cout << i,;
return ;
}
Review:
算是又了解一种套路了吧:
求 $ax \equiv b(\mod c)$ 中最小的x的公式:$(x_0\mod k+k)\mod k$ (先用exgcd算出$x_0$)
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