[BZOJ 1407] Savage

Link：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1407

Solution：

由于此题里n的范围很小，因此可以直接从小到大枚举m

那么问题转化为一个判定型问题：已知m，求是否会发生冲突

由于$O(m \cdot n^2)$的复杂度符合要求，枚举每一对(i,j)是否会发生冲突即可

可将问题转化为求同余式中最小的x

\[(step_i-step_j)x\equiv pos_j-pos_i(\mod m)\]

接下来就是数论里的套路了：

$ax \equiv b(\mod c)$可以转化为求$ax+cy=b$，我们可以用扩展欧几里得求出x，y值，同时顺便求出GCD。

设$k=c/gcd(a,c)$，$d=gcd(a,c)$

那么方程$ax \equiv b(\mod c)$的一个特解：$x_0=x \cdot (b/d)\mod c$。

（如果b不是d的倍数则无解）

并且它的d个解分别为：$x_i=(x_0+i*k)\mod c (i \in 0,1,2,.....d-1)$。

推导：

$$ax+cy=b$$

$$ax_0+cy_0=b$$

$$a(x-x_0) = c(y_0-y)$$

$$a/d(x-x_0) = c/d(y_0-y)$$

由于$$c/d\mid (x-x_0)$$

所以$$x = x_0+c/d*n$$

则方程ax≡b(mod c)的最小解为：$(x_0\mod k+k)\mod k$

Code：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN=;

int n,c[MAXN],p[MAXN],l[MAXN];

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=;y=;return a;}
    int ret=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y;y=t-a/b*y;return ret;
}

bool check(int m)
{
    for(int i=;i<n;i++)
        for(int j=i+;j<=n;j++)
        {
            int A=p[i]-p[j],B=c[j]-c[i],x,y,GCD=exgcd(A,m,x,y);
            if(B%GCD) continue;
            x=((x*B/GCD)%(m/GCD)+abs(m/GCD))%(m/GCD);
            if(x<=min(l[i],l[j])) return false;
        }
    return true;
}

int main()
{
    cin >> n;int mx=;
    for(int i=;i<=n;i++)
        cin >> c[i] >> p[i] >> l[i],mx=max(mx,c[i]);//找到最小的初始值

    for(int i=mx;i<=1e6;i++) if(check(i)) return cout << i,;
    return ;
}

Review:

算是又了解一种套路了吧：

求 $ax \equiv b(\mod c)$ 中最小的x的公式：$(x_0\mod k+k)\mod k$  （先用exgcd算出$x_0$）