Uva 12627 Erratic Expansion（递归）

这道题大体意思是利用一种递归规则生成不同的气球，问在某两行之间有多少个红气球。

我拿到这个题，一开始想的是递归求解，但在如何递归求解的思路上我的方法是错误的。在研读了例题上给出的提示后豁然开朗（顺便吐槽一下算法竞赛第二版在这这道题目上（P246）提示写的有问题，g(k,i)=2g(k-1,i-2^(k-1))+c(k-1)  ，他把c(k-1)写成了c(k)...我纠结这个纠结了好久）

根据题目提示，这道题可以用f(k,i)表示k小时后最上边i行的红气球总数

那么我们的答案就可以表示为f(k,b)-f(k,a-1)

如何求f(k,i)?

这里我们通过观察，在k小时后所分成的四部分气球中，最右下角区域的气球是跟其他区域气球不相同的。因此我们可以分成两种情况（i在上半部分和i在下半部分）。

当i<2^(k-1),f(k,i)=2*f(k-1,i)

当i>=2^(k-1),f(k,i)=c(k-1)+f(k-1,i-2^(k-1))

其中c(k-1)代表完整的那部分的红气球数，也就是k-1小时后的红气球数。

由气球构造方式可得递推式：c(k)=3c(k-1),c(0)=1，可知这是个等比数列，求得c(k)=3^k

至此我们就可以得到我们想要的答案了。

同理，我们也可以利用g(k,i)表示k小时后最下边i行的红气球总数，把我们的答案用g(k,i)表示出来，这里不再叙述。

以下是完整代码：

 #include <cstdio>
 using namespace std;
 long long c(int k){
     long long sum = ;
     while(k--)sum*=;
     return sum;
 }
 long long g(int k, int i) {
   if(i == ) return ;
   if(k == ) return ;

   int k2 =  << (k-);
   if(i >= k2) return *g(k-, i-k2) + c(k-);
   else return g(k-,i);
 }
 long long f(int k,int i){
     if(i==)return ;//注意这两处边界的处理
     if(k==)return ;
     int t =  << (k-);
     if(i<t)return *f(k-,i);
     else return  *c(k-) + f(k-,i-t);
 }
 int main(){
   int T, k, a, b;
   scanf("%d",&T);
   for(int kase = ; kase <= T; kase++) {
     scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);
     printf("Case %d: %lld\n",kase,f(k, b) - f(k, a-));
     //int t =1 << k;
     //printf("Case %d: %lld\n",kase,g(k, t-a+1) - g(k,t- b));
   }
   return ;
 }

 long long c(int i) { return i ==  ?  : c(i-)*; }

另外代码仓库中c的求法比较简洁，值得学习。