模板题:

  给定$n = 2^k$和两个序列$A_{0..n-1}$, $B_{0..n-1}$,求

  $$C_i = \sum_{j \oplus k = i} A_j B_k$$

  其中$\oplus$是某一满足交换律的位运算,要求复杂度$O(nlogn)$。


快速沃尔什变换:

  这是什么东西?有用吗?请参阅SDOI2017r2d1-cut。

  看到这个大家是不是立刻想到了快速傅里叶变换?

  $$C_i = \sum_{j + k = i} A_j B_k$$

  我们来想想离散傅里叶变换的本质。

  $$\begin{aligned}& DFT(A)_i \\
  &= A(\omega_n^i)\\
  &=\sum_{j = 1}^n A_j * (\omega_n^i)^j\end{aligned}$$

  令$f(n, i, j) = (\omega_n^i)^j$,则

  $$DFT(A)_i = \sum_{j = 1}^n A_j f(n, i, j)$$

  它要满足$DFT(A)_i * DFT(B)_i = DFT(C)_i$,即

  $$(\sum_{j = 1}^n A_j f(n, i, j))(\sum_{k = 1}^n B_k f(n, i, k))=\sum_{l = 1}^n C_l f(n, i, l)$$

  $$\sum_{j = 1}^n \sum_{k = 1}^n A_j B_k f(n, i, j) f(n, i, k))=\sum_{l = 1}^n (\sum_{a+b=l} A_a B_b) f(n, i, l)$$

  这时我们发现左右分别有$n^2$项,令对应项系数相等,得

  $$f(n, i, j)f(n, i, k) = f(n, i, j + k)$$

  只要任意一个可以进行逆变换且满足上述条件的$f$都可以。

  现在我们把上面的$+$都改成$\oplus$,就是离散沃尔什变换即

  $$DWT(A)_i = \sum_{j = 1}^n A_j f(n, i, j)$$

  $$f(n, i, j)f(n, i, k) = f(n, i, j \oplus k)$$

  怎么样,是不是云里雾里顿开茅塞?

  然而我们还需要变快,所以快速傅里叶变换采用

  $$f(n, i, j) = (\omega_n^i)^j$$

  那它有什么优美的性质呢?

  我们发现, 由于有折半引理,$f(n, i, j)$和$f(n, i+n/2, j)$可以同时从$f(n/2,i,j)$得来。

  那么,从感性的角度,既然$\oplus$是一个位运算,那么应该更容易找到一个跟位运算有关的$f$,这样就自然有类似折半引理的东西使得我们可以做到上述事情。

  例如,当$\oplus$是位与时,可以取$f(i, j) = [i \& j = i]$, 即$j$的二进制完全包含在$i$的二进制里时为1,否则为0。

  当$\oplus$是位异或时, 可取$f(i, j) = (-1)^{count(i \& j)}$,其中$count(x)$表示$x$的二进制表示中1的个数。


逆变换:

  逆变换看上去好难啊。。。

  其实逆变换还是比较简单的。因为既然$f$跟位运算有关,我就只需要考虑某一位就好了。

  例如$\oplus$是位异或时我考虑$n=2,A=(a_0, a_1)$,

  那么$DWT(A) = (da_0 = a_0 + a_1, da_1 = a_0 - a_1)$

  我只需要解一个二元一次方程(把$da_0, da_1$作为常数, $a_0, a_1$作为变量)就可以解出$a_0, a_1$了。

  没了。


关于$f$函数的构造:

  $f$函数怎么构造。。。和逆变换的方法差不多啊。。。只需要看$n=2$的情况就行(实际上一般就是$-1$的几次幂,或者$0, 1, -1$)

  如果记忆力好可以把所有都背下来,反正满足交换律的位运算只有8个。。。

  列一些出来吧。。。(下列$f$函数均将第一个参数$n$省略, $[expr]$在布尔表达式$expr$为真时为1, 否则为假)

  $\oplus$为位与: $f(i, j) = [j \& i = i]$.

  $\oplus$为位或: $f(i, j) = [j \& i = j]$.

  $\oplus$为位异或: $f(i, j) = (-1)^{count(i \& j)}$.

  $\oplus$为位与非,位或非的时候把三个数组的下标都取反就对应位或和位与。

  $\oplus$为同或时直接求位异或卷积再把$C$的下标取反就行了。


吐槽:

  明明可以感性的理解我偏要说这么多。。。

  只是因为闲的慌。。。

  当然是要帮助大家更好的理解FWT。

  至于为什么要满足交换律。。。我才不会告诉你我还没有搞出不满足怎么做。

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