Codeforces Round #721 (Div. 2) AB思维，B2博弈，C题map

补题链接：Here

1527A. And Then There Were K

题目大意：

给一个正整数n，求最大的k，使得 \(n \& (n−1) \& (n−2) \& (n−3) \& … (k) = 0\)

思路：

就假设 \(n\) 为 17，二进制为 10001，我们来模拟一下求解过程。

17 10001

16 10000

15 01111

因为按位与的特点就是，一位上只要有一个0，这一位最后就是0。

我们竖着来看，17到15，每一位上就都出现过一次0了，所以15就是答案。然后举更多例子观察特点，发现，答案就是让n的二进制最左边的1置为0，后面全置为1。

如：

10001 11101 10111的答案都是 01111

【AC代码】

int qpow(int a, int b) {int ans = 1; while (b) {if (b & 1)ans = ans * a; b >>= 1; a = a * a;} return ans;}
void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0;
    while (n) {
        n >>= 1;
        ++ans;
    }
    cout << qpow(2, ans - 1) - 1 << "\n";
}

转化思维，模拟上面的过程

void solve() {
    ll n, k = 0;
    cin >> n;
    while (k * 2 + 1 < n)k = k * 2 + 1;
    cout << k << "\n";
}

遇到这种位运算的题目，一般都是把数的二进制表示出来，然后根据运算的特点（比如&的特点就是，只要有一个0，最后就是0），找规律。

1527B1. Palindrome Game (easy version)

题目大意：

给一个字符串（这题的字符串一开始一定是一个回文）。

1.可以把一个0变为1，操作者的数字+1。

2.或者翻转整个字符串（前提是该字符串不是回文且上一个人的操作不是翻转）。

Alice先，最后字符串全为1时，谁的数字大谁输，相同则平局。

思路：

因为一开始就是回文，所以Alice只好进行1操作，如果可以在这个操作之后仍然让它时一个回文，那Alice就赢定了。

比如：10001

Alice进行1之后，10101

Bob没法翻转，只好进行1操作，11101

这时，Alice很聪明，不会傻傻地让自己的数字变大，选择2翻转字符串，10111

Bob只好继续1操作，111111

这时Bob都已经数字为2了，Alice为1，所以Alice胜

比如：10101

Alice 1操作之后并不是回文，这就让Bob有机可乘，最后是Bob赢了

关键在于，Alice第一次操作之后它还是不是回文，而这取决于改字符串中间的字符是不是0，只有中间的字符是0，且字符串长为奇数（偶数的话连中间都没有）的时候Alice赢，否则Bob赢。

还有一个特殊情况，就是只有一个0的时候，因为刚开始就是回文，Alice只好1操作，所以Alice必定+1，而Bob是0，所以Bob赢了。

void solve() {
	int n; string s;
	cin >> n >> s;
	int cnt0 = count(s.begin(), s.end(), '0');
	if (cnt0 == 1)cout << "BOB\n";//只有一个0
	else if (n & 1 and s[n / 2] == '0')cout << "ALICE\n";//是奇数个，中间为0
	else cout << "BOB\n";
}

压缩判断条件：奇数个0 并且不为 1 个，此时一定是 Alice 获胜了

void solve() {
	int n; string s;
	cin >> n >> s;
	int k = count(s.begin(), s.end(), '0');
	if (k & 1 and k != 1)cout << "ALICE\n";
	else cout << "BOB\n";
}

1527B2. Palindrome Game (hard version)

题目大意：

这题跟B1的区别就是，一开始的字符串可能不是回文。

思路：

一开始是回文时，用B1的结论。

一开始不是回文时，Alice就可以一开始就翻转，让Bob喘不过气来，所以Bob不可能赢。

但是有一种平局的情况，001，只有2个0，且中间是0。

void solve() {
	int n; string s;
	cin >> n >> s;
	int k = count(s.begin(), s.end(), '0');
	string b = s;
	reverse(b.begin(), b.end());
	if (b == s) { // 用 1 的结论
		if (k == 1 || !(n & 1))cout << "BOB\n";
		else if ((n & 1) and s[n / 2] == '0')cout << "ALICE\n";
		else cout << "BOB\n";
	} else {
		if (k == 2 and (n & 1) and s[n / 2] == '0')
			cout << "DRAW\n";
		else cout << "ALICE\n";
	}
}

赛后 DP 写法：很复杂，不推荐

const int N = 1010;
int dp[N][N][2][2];
int vis[N][N][2][2];
int DP(int a, int b, int c, int d) {
	if (vis[a][b][c][d])return dp[a][b][c][d];
	vis[a][b][c][d] = 1;
	int &tmp = dp[a][b][c][d] = N;
	if (a + b + c == 0) tmp = 0;
	if (b and d) tmp = min(tmp, -DP(a, b, c, 0));
	if (a) tmp = min(tmp, -DP(a - 1, b + 1, c, 1) + 1);
	if (b) tmp = min(tmp, -DP(a, b - 1, c, 1) + 1);
	if (c) tmp = min(tmp, -DP(a, b, c - 1, 1) + 1);
	return tmp;
}
void solve() {
	int n; string s;
	cin >> n >> s;
	int a = 0, b = 0, c = 0;
	for (int i = 0; i * 2 + 1 < n; ++i) {
		if (s[i] == '0' and s[n - i - 1] == '0')a++;
		if (s[i] != s[n - 1 - i]) b++;
	}
	if (n & 1 and s[n / 2] == '0')c = 1;
	int ans = DP(a, b, c, 1);
	if (ans > 0)cout << "BOB\n";
	else if (ans == 0)cout << "DRAW\n";
	else cout << "ALICE\n";
}

1527C. Sequence Pair Weight

题目大意：

给一个数组，求每个子序列的一对相同数字的数量之和。

分析：

暴力 \(\mathcal{O}(n^2)\)，肯定不行，所以肯定有什么 \(\mathcal{O}(n)\) 的方法可以实现。

首先，答案肯定跟这些数字出现的次数有关，其次，也跟数字所在的位置有关。

所以很容易想到用 map 去存储位置并计数

void solve() {
	map<int, ll>mp;
	ll ans = 0;
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1, a; i <= n; ++i) {
		cin >> a;
		ans += mp[a] * (n - i + 1);
		mp[a] += i;
	}
	cout << ans << "\n";
}