数据结构与算法 | 二叉树(Binary Tree)

二叉树(Binary Tree)

二叉树（Binary Tree）是一种树形数据结构，由节点构成，每个节点最多有两个子节点：一个左子节点和一个右子节点。

	public class TreeNode {
      	 int val;
      	 TreeNode left;
      	 TreeNode right;
      	 TreeNode(int val) { this.val = val; }
    }

基本概念

"二叉树"（Binary Tree）这个名称的由来是因为二叉树的每个节点最多有两个子节点，一个左子节点和一个右子节点。其中，“二叉”指的是两个，因此“二叉树”表示每个节点最多可以分支成两个子节点。基本定义：

• 每个节点包含一个值（或数据），另外最多有两个子节点。
• 左子节点和右子节点的顺序是固定的，左边的子节点是左子节点，右边的子节点是右子节点。
• 一个节点可以没有子节点（叶节点），也可以有一个子节点或两个子节点（内部节点）。

相关基本概念：

• 根节点（Root）： 二叉树的顶部节点称为根节点，是树的起始点。
• 节点（Node）： 二叉树的基本构建单元。每个节点包含一个值（或数据）以及指向左子节点和右子节点的指针。
• 父节点（Parent Node）： 一个节点的直接上级节点，如果存在的话。例如，一个节点的左子节点的父节点是该节点本身。
• 叶节点（Leaf Node）： 没有子节点的节点称为叶节点，即左子节点和右子节点都为空。
• 子树（Subtree）： 以某个节点为根的树，它包括该节点及其所有后代节点。
• 高度（Height）： 从某个节点到其最远叶节点的最长路径上的边数，也称为节点的层数。叶节点的高度为0。

在二叉树基本定义上，加上一些规则，可以衍生出更多种类的二叉树。比如：

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）： 一种特殊的二叉树，满足以下性质：对于树中的每个节点，其左子树中的值都小于该节点的值，而其右子树中的值都大于该节点的值。BST通常用于实现有序数据集合。

完全二叉树（Complete Binary Tree）： 一个二叉树，其所有层次（深度）除了最后一层外，都是完全填充的，且最后一层的节点从左到右填充，没有空隙。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）： 一种高度平衡的二叉树，其中每个节点的两棵子树的高度差不超过1。平衡二叉树通常用于提高查找、插入和删除操作的性能。

预备基础算法 —— 递归（Recursion）

下一部分要写的是二叉树基本遍历代码实现其实可以有多种，思量后用递归实现应该是初接触者比较简洁好理解的方式。为此，在写二叉树下一部分内容之前简单写下基础递归算法，以保证本系列文章承前启后。

递归(Recursion),在数学与计算机科学中对其描述的说法有很多，比如：

1. 指在函数的定义中使用函数自身的方法；
2. 指一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法；
   
   （PS：这里同类子问题对于于上一种说法就是函数自身）
3. 指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。
   
   （PS：这里描述的基本情况对应于第一种说法中的函数自身了）

当然本文非学术著作"哪种描述比较合适"在此不多做分析，从编码实践的角度第一种说法更为地气一点。

“将问题分解为同类的子问题” 这一点是用递归的方式来解题的关键，这里用个简单的累加和的例子:

设计一个函数，输入参数为 n ，返回 1+2+...n 的和。

public int sum(int n){
	int result = 0;
	for (int i = 1; i <= n ; i++) {
		result = result + i;
	}
	return result;
}

想想初学 C 语言for循环的时候应该都有写过上述代码，从 1开始递增加到 n 这其实是典型的递推。那如果用递归的思路来思考的话：

求 1+2+..n 的和（问题） -> 就是 n 加上 求 1+2+..（n-1） 的和（同类的子问题）;

其中最基本的情况 1 的和 为 1。

public int sum( int n ) {
	if( 1 == n) return 1;
	return n + sum(n-1);
}

可以看到递归的代码实现上是不是非常简洁。大部分初学者思考上比较习惯于递推，如果第一次接触递归角度思考会有些不适应（或者无法独立分析出来递归）也是正常。当慢慢熟悉后，会发现用递归的思路解决某些算法问题往往会非常简单（在本篇接下来的内容中就能发现这点）。

在 初学递归 过度到 熟悉递归 这个阶段，笔者建议可以考虑把一些用递推已经解决了的问题 用 递归的思路尝试解决，习惯递归思路后会打开一片新世界。

基本遍历（Traversal）

二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。在二叉树中，有三种常见的遍历方式，它们分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。

先序遍历（Preorder Traversal）

从根节点开始，首先访问根节点，然后按照前序遍历的方式依次访问左子树和右子树。前序遍历通常用于复制一棵树或计算表达式的值。

访问顺序：根节点 -> 左子树 -> 右子树

Leetcode 144. 二叉树的前序遍历【简单】

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。

中序遍历（Inorder Traversal）

从根节点开始，首先按照中序遍历的方式访问左子树，然后访问根节点，最后访问右子树。中序遍历通常用于访问二叉搜索树中的节点，以升序或降序访问节点值。

访问顺序：左子树 -> 根节点 -> 右子树

Leetcode 94. 二叉树的中遍历【简单】

给定一个二叉树的根节点 root ，返回 它的 中序 遍历 。

针对后序遍历（Postorder Traversal）从根节点开始，首先按照后序遍历的方式访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。后序遍历通常用于释放二叉树的内存，或计算表达式的值。访问顺序：左子树 -> 右子树 -> 根节点，在此不过多描述相信一定能够完成编码。

反向构建

Leetcode 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树【中等】

给定两个整数数组 preorder 和 inorder ，其中 preorder 是二叉树的先序遍历， inorder 是同一棵树的中序遍历，请构造二叉树并返回其根节点。

综合应用

本系列文章中已经介绍了链表、递归、二叉树，解决算法问题往往会需要综合应用。不妨来看下下面这个问题：

Leetcode 114. 二叉树展开为链表【中等】

给你二叉树的根结点 root ，请你将它展开为一个单链表：

展开后的单链表应该同样使用 TreeNode ，其中 right 子指针指向链表中下一个结点，而左子指针始终为 null 。

展开后的单链表应该与二叉树 先序遍历 顺序相同。

总结下

• 介绍了二叉树的的一些基本概念包括：根节点、叶子节点、高度等等；
• 介绍了基础算法递归的思想：“重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法”；
• 介绍了基本的二叉树遍历 和 反向构建的相关思路；
• 结合本系列先前文章内容，解决综合链表、递归、二叉树的问题，灵活处理使用数据结构的特征是关键。