浅谈BSGS和EXBSGS

我的 BSGS 和各位犇犇的差不多，但是不需要求逆元

Luogu [ TJOI2007 ] 可爱的质数

原题展现

题目描述

给定一个质数 $p$，以及一个整数 $b$，一个整数 $n$，现在要求你计算一个最小的非负整数 $l$，满足 $b^l \equiv n \pmod p$。

输入格式

仅一行，有 $3$ 个整数，依次代表 $p, b, n$。

输出格式

仅一行，如果有 $l$ 满足该要求，输出最小的 $l$，否则输出 no solution。

样例 #1

样例输入 #1

5 2 3

样例输出 #1

数据规模与约定

对于所有的测试点，保证 $2\le b,n < p<2^{31}$。

Baby Steps Giant Steps 详解

注意到互质，根据欧拉定理，我们易得$l< p$，枚举的时间复杂度为$O(p)$

其实可以优化到$O(\sqrt{p})$，设 $m=\lceil \sqrt{p}\rceil,r=b\%m$

于是我们可以将原式写成

\[b^{km+r}\equiv n(mod\;p)\\
b^{km}\equiv nb^{-r}(mod\;p)
\]

右边好像要求逆元啊，我们不想求逆元，怎么办呢？

只需将式子改成

\[b^{km-r}\equiv n(mod\;p)\\
b^{km}\equiv nb^{r}(mod\;p)
\]

解决了问题

我们考虑找到一个 $k$ 和一个 $r$ 使得上述式子成立，这个并不难

首先枚举 $r$ ，显然有 $r(1\leq r\leq m)$ 注意这里和广大打法不同

因为广大打法是枚举余数，这里枚举的是相反的

然后把右边式子的值哈希存下，枚举左边的 $k(1\leq k \leq m)$

对于左边枚举求出的值看看哈希数组是否存在对应的右边的值，如果有，那么就是一个解

搞出一个最小的解好像也不是很难吧.....

时间复杂度 $O(m)$ ，也就是 $O(\sqrt{p})$

然后注意一下，要打很多特判

上一下码风巨丑的代码

inline ll ksc(ll x, ll y, const ll& p) { return (x * y - (ll)((long double)x / p * y) * p + p) % p; }

vector<pair<ll, int> > v[ 100013];

inline ll BSGS(ll a, ll b, const ll&p) {

        if (b == 1) {

        if (a == 0)

            return -1;

        return 1;

    }

    if (b == 0) {

        if (a == 0)

            return 1;

        return -1;

    }

    if (a == 0) {

        return -1;

    }

    ll m = ceil(sqrt(p)), cnt = 1, res = 1;

    for (int r = 1; r <= m; r++) {

        cnt = ksc(cnt, a, p);//这个龟速乘不是龟速乘

        v[(ksc(cnt, b, p)) % mod].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));

    }

    for (int k = 1; k <= m; k++) {

        res = ksc(cnt, res, p);

        ll id=res%mod;

        if (v[id].size())

        {

            for (int j = v[id].size() - 1; j >= 0; j--)

            {

                if (v[id][j].first ==res)

                {

                    return m * k - v[id][j].second;

                }

            }

        }

    }

    return -1;

}

SPOJ3105 MOD

原题展现

题目描述

给定 $a,p,b$，求满足 $a^x≡b \pmod p$ 的最小自然数 $x$ 。

输入格式

每个测试文件中包含若干组测试数据，保证 $\sum \sqrt p\le 5\times 10^6$。

每组数据中，每行包含 $3$ 个正整数 $a,p,b$ 。

当 $a=p=b=0$ 时，表示测试数据读入完全。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

如果无解，输出 No Solution，否则输出最小自然数解。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

9

No Solution

数据范围

对于 $100\%$ 的数据，$1\le a,p,b≤10^9$ 或 $a=p=b=0$。

扩展 Baby Steps Giant Steps 详解

注意到不互质，那我们就要想办法让它互质

\[a^x\equiv b(mod\;p)\\
a^x-kp=b\\
设 d=gcd(a,p)\\
若 d|b 不成立，则无解\\
式子除 d 得
a^{x-1}\frac a d- k\frac p d=\frac b d\\
改记为a^{x-1}a'- kp'=b'\\
即 a^{x-1}a'\equiv b'(mod\; p')
\]

如此反复，直到互质为止，差不多就是

\[a^{x-cnt}a'\equiv b'(mod\; p')
\]

注意，操作时如果两边值相等了，答案就是 $cnt$

然后就是个普通 BSGS ,变了一点点，左边需要乘上 $a'$，其他都是一模一样的

求出答案之后答案要加上 $cnt$ ,因为我们求出的是 $x-cnt$

本题时限高达 4s ，就算不写哈希用 map 也能通过

参考如下实现

const ll mod=100003;

vector<pair<ll, int> > v[ 100013];

inline ll BSGS(ll a, ll b, const ll&p) {

    memset(v,0,sizeof(v));

        if (b == 1) {

        if (a == 0)

            return -1;

        return 1;

    }

    if (b == 0) {

        if (a == 0)

            return 1;

        return -1;

    }

    if (a == 0) {

        return -1;

    }

    ll m = ceil(sqrt(p)), cnt = 1, res = 1;

    for (int r = 1; r <= m; r++) {

        cnt = ksc(cnt, a, p);

        v[(ksc(cnt, b, p)) % mod].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));

    }

    for (int k = 1; k <= m; k++) {

        res = ksc(cnt, res, p);

        ll id=res%mod;

        if (v[id].size())

        {

            for (int j = v[id].size() - 1; j >= 0; j--)

            {

                if (v[id][j].first ==res)

                {

                    return m * k - v[id][j].second;

                }

            }

        }

    }

    return -1;

}