浅谈BSGS和EXBSGS

我的 BSGS 和各位犇犇的差不多，但是不需要求逆元

Luogu [ TJOI2007 ] 可爱的质数

原题展现

题目描述

给定一个质数 \(p\)，以及一个整数 \(b\)，一个整数 \(n\)，现在要求你计算一个最小的非负整数 \(l\)，满足 \(b^l \equiv n \pmod p\)。

输入格式

仅一行，有 \(3\) 个整数，依次代表 \(p, b, n\)。

输出格式

仅一行，如果有 \(l\) 满足该要求，输出最小的 \(l\)，否则输出 no solution。

样例 #1

样例输入 #1

5 2 3

样例输出 #1

3

数据规模与约定

• 对于所有的测试点，保证 \(2\le b,n < p<2^{31}\)。

Baby Steps Giant Steps 详解

注意到互质，根据欧拉定理，我们易得\(l< p\)，枚举的时间复杂度为\(O(p)\)

其实可以优化到\(O(\sqrt{p})\)，设 \(m=\lceil \sqrt{p}\rceil,r=b\%m\)

于是我们可以将 原式写成

\[b^{km+r}\equiv n(mod\;p)\\
b^{km}\equiv nb^{-r}(mod\;p)
\]

右边好像要求逆元啊，我们不想求逆元，怎么办呢？

只需将式子改成

\[b^{km-r}\equiv n(mod\;p)\\
b^{km}\equiv nb^{r}(mod\;p)
\]

解决了问题

我们考虑找到一个 \(k\) 和 一个 \(r\) 使得上述式子成立，这个并不难

首先枚举 \(r\) ，显然有 \(r(1\leq r\leq m)\) 注意这里和广大打法不同

因为广大打法是枚举余数，这里枚举的是相反的

然后把右边式子的值哈希存下，枚举左边的 \(k(1\leq k \leq m)\)

对于左边枚举求出的值看看哈希数组是否存在对应的右边的值，如果有，那么就是一个解

搞出一个最小的解好像也不是很难吧.....

时间复杂度 \(O(m)\) ，也就是 \(O(\sqrt{p})\)

然后注意一下，要打很多特判

上一下码风巨丑的代码

inline ll ksc(ll x, ll y, const ll& p) { return (x * y - (ll)((long double)x / p * y) * p + p) % p; }
vector<pair<ll, int> > v[ 100013];
inline ll BSGS(ll a, ll b, const ll&p) {
        if (b == 1) {
        if (a == 0)
            return -1;
        return 1;
    }
    if (b == 0) {
        if (a == 0)
            return 1;
        return -1;
    }
    if (a == 0) {
        return -1;
    }
    ll m = ceil(sqrt(p)), cnt = 1, res = 1;
    for (int r = 1; r <= m; r++) {
        cnt = ksc(cnt, a, p);//这个龟速乘不是龟速乘
        v[(ksc(cnt, b, p)) % mod].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));
    }
    for (int k = 1; k <= m; k++) {
        res = ksc(cnt, res, p);
        ll id=res%mod;
        if (v[id].size())
        {
            for (int j = v[id].size() - 1; j >= 0; j--)
            {
                if (v[id][j].first ==res)
                {
                    return m * k - v[id][j].second;
                }
            }
        }
    }
    return -1;
}

SPOJ3105 MOD

原题展现

题目描述

给定 \(a,p,b\)，求满足 \(a^x≡b \pmod p\) 的最小自然数 \(x\) 。

输入格式

每个测试文件中包含若干组测试数据，保证 \(\sum \sqrt p\le 5\times 10^6\)。

每组数据中，每行包含 \(3\) 个正整数 \(a,p,b\) 。

当 \(a=p=b=0\) 时，表示测试数据读入完全。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

如果无解，输出 No Solution，否则输出最小自然数解。

样例 #1

样例输入 #1

5 58 33
2 4 3
0 0 0

样例输出 #1

9
No Solution

数据范围

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le a,p,b≤10^9\) 或 \(a=p=b=0\)。

扩展 Baby Steps Giant Steps 详解

注意到不互质，那我们就要想办法让它互质

\[a^x\equiv b(mod\;p)\\
a^x-kp=b\\
设 d=gcd(a,p)\\
若 d|b 不成立，则无解\\
式子除 d 得
a^{x-1}\frac a d- k\frac p d=\frac b d\\
改记为a^{x-1}a'- kp'=b'\\
即 a^{x-1}a'\equiv b'(mod\; p')
\]

如此反复，直到互质为止，差不多就是

\[a^{x-cnt}a'\equiv b'(mod\; p')
\]

注意，操作时如果两边值相等了，答案就是 \(cnt\)

然后就是个普通 BSGS ,变了一点点，左边需要乘上 \(a'\)，其他都是一模一样的

求出答案之后答案要加上 \(cnt\) ,因为我们求出的是 \(x-cnt\)

本题时限高达 4s ，就算不写哈希用 map 也能通过

参考如下实现

const ll mod=100003;
vector<pair<ll, int> > v[ 100013];
inline ll BSGS(ll a, ll b, const ll&p) {
    memset(v,0,sizeof(v));
        if (b == 1) {
        if (a == 0)
            return -1;
        return 1;
    }
    if (b == 0) {
        if (a == 0)
            return 1;
        return -1;
    }
    if (a == 0) {
        return -1;
    }
    ll m = ceil(sqrt(p)), cnt = 1, res = 1;
    for (int r = 1; r <= m; r++) {
        cnt = ksc(cnt, a, p);
        v[(ksc(cnt, b, p)) % mod].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));
    }
    for (int k = 1; k <= m; k++) {
        res = ksc(cnt, res, p);
        ll id=res%mod;
        if (v[id].size())
        {
            for (int j = v[id].size() - 1; j >= 0; j--)
            {
                if (v[id][j].first ==res)
                {
                    return m * k - v[id][j].second;
                }
            }
        }
    }
    return -1;
}