P8474 「GLR-R3」立春

简要题意

\(\tau(\sigma)\) 表示排列 \(\sigma\) 的逆序对个数，求：

\[\sum_{i \in \operatorname{permutation(n)}}2^{\tau(i)} \bmod (10^{9}+7)
\]

\(1 \le n \le 10^{7}\)

思路

暴力序曲

首先先打一个暴力，思路是枚举全排列，然后用一个树状数组求以下逆序对。

时间复杂度 \(O((n \log n)n!)\) 请勿提交哦。

然后看看前几个 \(n\) 是多少。在我的暴力中，前 \(5\) 个 \(n\) 时，应该是：

1,3,21,315,9765

OEIS做法（非正经）

看到这种题目，你一定想到了 OEIS，它告诉你，编号是 A005329

我们不看英文描述，翻到下面，有一个章节叫做 MATHEMATICA，这是一个叫做 Mathmatica 的编程语言的源代码，第一个比较好懂，是：

a[0] = 1; a[n_] := a[n] = (2^n-1)*a[n-1]; a /@ Range[0, 14] (* Jean-François Alcover, Apr 22 2011 *)

相信大家都能看懂，它是一个 \(O(n\log n)\) 递推（默认用了快速幂）

\[A_0=1,A_n=(2^{n}-1)\cdot A_{n-1}
\]

优化

如果你写了一个 \(O(n\log n)\) 的算法，准备提交，你会喜提 \(70\) 分（考场亲测）

（也有可能是人傻常数大吧）

我们考虑优化。

对于式子 \(2^{n}\)，我们也可以写一个递推来做到 \(O(1)\) 查询：

\[B_0=1,B_n=2\times B_{n-1}
\]

然后记得取模。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int a[10000007];
const int mod=1e9+7;
int n;

int poww[10000005];

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin>>n;
	a[0]=1;
	poww[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		poww[i]=(poww[i-1]*2%mod+mod)%mod;
		a[i]=((poww[i]-1)*a[i-1]%mod+mod)%mod;
	}
	cout<<a[n]<<'\n';
	return 0;
}