【2019北京集训六】路径(path) 二分+DP

此题niubi！

题目大意：给你一颗n个点的点带权无根树，现在请您进行以下两步操作：

1，选择一个$[0,T]$之间的整数$C$，并令所有的点权$wi$变为$(wi+C)%MOD$

2，选择若干条点不相交的路径；设选择的条数为$k$，覆盖的点的点权和为$S$，则收益为$\frac{S}{k+1}$

请您求出收益最大可能为多少。

数据范围：$T,S≤10^5$，$n≤5000$

我们先不考虑修改点权的过程，只考虑求最大收益应该如何做。

我们显然有一种$O(n^2)$的做法，但是复杂度太高了，加上修改点权的操作就爆炸了，考虑优化。

我们考虑二分这个收益，设当前二分到的收益是$ans$。

假设真实收益大于$ans$，则有：

$\frac{S}{k+1}>ans$

我们进行移项，有：

$S-k\times ans>ans$

这个式子为啥会优秀很多呢?因为$S-k\times ans$可以在$O(n)$的时间内求出了:

我们设$f[u]$表示以$u$为跟的子树内找出了$x$条路径，($x$条路径的和$-x\times ans$)的最大值，且没有路径连出$u$

$g[u]$表示以$u$为跟的子树内找出了$x$条路径，($x$条路径的和$-(x-1)\times ans$)的最大值，有恰好一条路径从$u$连出

我们在以$u$为跟的子树中找出两个儿子$v1$,$v2$，满足$v1$在所有儿子中，$g[v1]-f[v1]$最大，$v2$次大。

设$S=\sum \limits_{v∈son[u]} f[u]$，则有：

$f[u]=max(S,S+(g[v1]-f[v1])+(g[v2]-f[v2]+val[u])-ans)$

$g[u]=max(S,S+(g[v1]-f[v1])+val[u])$

其中$val[u]$表示点$u$的权值。

我们通过二分$ans$，就可以在$O(n\log(-\varepsilon))$确定当前最大的$ans$。

我们考虑点权的修改，一个有效的点权修改方案，需满足至少一个$val[i]$被修改至$MOD-1$，或者增加的值为$T$。

如果每次暴力修改，然后二分查找$ans$，这个复杂度显然是$O(n\log(-\varepsilon))$的，依然会爆炸。

设$Ans[i]$表示当点权被增加了$c[i]$时的$ans$

我们考虑到，一个长度为$n$的随机序列的最长上升子序列期望长度是$O(\log\  n)$的

我们考虑将序列$C$随机打乱

我们先将序列进行修改，然后基于之前求出的$ans$，求一遍答案，判断修改后的序列是否会更加优秀。

如果更加优秀，我们就重新二分出答案。

不难发现，重新二分答案的次数期望是$O(\log\ n)$的。

总的复杂度就是$O(n^2+n\log n\log(-\varepsilon))$的。

完结撒花

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 5005
 #define eps 1e-6
 using namespace std;

 struct edge{int u,next;}e[M*]={}; int head[M]={},use=;
 void add(int x,int y){use++;e[use].u=y;e[use].next=head[x];head[x]=use;}

 double f[M]={},g[M]={},Ans=;
 double get(int x){return g[x]-f[x];}

 int n,MOD,T,val[M]={},Val[M]={};

 void dfs(int x,int fa){
     int max1=,max2=;
     double sumf=;
     for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
         int v=e[i].u;
         dfs(v,x);
         if(get(v)>get(max1)) max2=max1,max1=v;
         else if(get(v)>get(max2)) max2=v;
         sumf+=f[v];
     }
     f[x]=max(sumf,sumf+get(max1)+get(max2)+val[x]-Ans);
     g[x]=max(max(sumf,sumf+val[x]),sumf+get(max1)+val[x]);
 }

 int cnt=,c[M]={};

 bool check(double chg){
     Ans=chg;
     dfs(,);
     return f[]>=chg-eps;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&MOD);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",Val+i),Val[i]%=MOD;
     for(int i=,x,y;i<n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
     scanf("%d",&T);
     c[++cnt]=; c[++cnt]=T;
     for(int i=;i<=n;i++){
         c[++cnt]=MOD--Val[i];
         if(c[cnt]>T){c[cnt--]=; continue;}
     }
     memcpy(val,Val,sizeof(val));

     random_shuffle(c+,c+cnt+);
     double ans=;
     for(int hh=;hh<=cnt;hh++){
         for(int i=;i<=n;i++) val[i]=(Val[i]+c[hh])%MOD;
         if(!check(ans)) continue;
         double l=,r=n*MOD/;
         while(r-l>eps){
             double mid=(l+r)/;
             if(check(mid)) l=mid;
             else r=mid;
         }
         ans=max(ans,l);
     }
     printf("%.10lf\n",ans);
 }