欧拉函数（小于或等于n的数中与n互质的数的数目）&& 欧拉函数线性筛法

【欧拉函数】

在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

【证明】： 
设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知， 
若 
n= ∏p^(α（下标p）)p|n 
则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p) 
p|n p|n 
例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24，与欧拉定理、费马小定理的关系，对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有a^φ(m)≡1(mod m)即欧拉定理：当m是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1(mod m)即费马小定理。（慢慢理解~~） 
代码实现：（写一遍欧拉函数，加深印象！） 
在线版：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int eular(int n)
 {
     int res=;
     for(int i=;i*i<=n;i++){
         if(n%i==){
            n/=i,res*=i-;//保证i一定是素数
             while(n%i==)
                 n/=i,res*=i;
         }
     }
     if(n>)
        res*=n-;
     return res;
 }
 int main()
 {
     int n;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
       printf("%d\n",eular(n));
     }
     return ;
 }

预处理：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N=le5+;
 int phi[N];
 void pre_eular()
 {
     phi[]=;
     for(int i=; i<N; i++)
     {
         if(!phi[i])
         {
             for(int j=i; j<N; j+=i)
             {
                 if(!phi[j]) phi[j]=j;
                 phi[j]=phi[j]/i*(i-);
             }
         }
     }
 }

欧拉函数的和：phi_sum(n) = the sum of phi(i) where gcd(i,n) = 1 and 1 <= i <= n 
1）phi_sum(n) = n * phi(n) / 2 (n >= 2) 
2）phi_sum(n) = 1 (n == 1)

线性筛：该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。

需要用到如下性质(p为质数)：

. phi(p)=p-   因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质

. 如果i mod p = , 那么phi(i * p)=p * phi(i)  证明如下

(上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)

上面的过程证明了从区间[,i]->[i+,i+i]，若整数n不与i互质，n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明：若整数n与i互质，n+i与i依然互质

.若i mod p ≠,  那么phi(i * p)=phi(i) * (p-)

    i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i * p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define N 40000
 using namespace std;
 int n;
 int phi[N+],prime[N+],tot,ans;  //phi - 欧拉函数的值 ， prime - 素因子的值
 bool mark[N+];
 void getphi()
 {
    int i,j;
    phi[]=;
    for(i=;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程
    {
        if(!mark[i])
            {
              prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。
              phi[i]=i-;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1
              }
        for(j=;j<=tot;j++)
        {
           if(i*prime[j]>N)  break;
           mark[i*prime[j]]=;//确定i*prime[j]不是素数
           if(i%prime[j]==)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数
           {
              phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
           }
           else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性
        }
    }
 }
 int main()
 {
     getphi();
 }