Petrozavodsk Winter Training Camp 2018

Problem A. Mines

题目描述:有\(n\)个炸弹放在\(x\)轴上,第\(i\)个位置为\(p_i\),爆炸半径为\(r_i\),引爆第\(i\)个炸弹的花费为\(c_i\)。但一个炸弹\(i\)爆炸时,在爆炸半径内的其它炸弹都会爆炸,而且不用花费。有\(Q\)个操作,每次改变一个炸弹的花费,然后输出引爆所有炸弹的最小费用。

solution
不会。

Problem B. Balls

题目描述:有\(n\)个直径为\(1\)的球在\(x\)轴上,编号从\(1\)到\(n\),第\(i\)个球的最左边的位置为\(p_i\)。在\(x=P\)处有一堵墙。有\(Q\)个操作,有两类操作:1、放一个球,最左边的位置为\(x\),如果已经有球,则不放。 2、滚动最左边的球,当一个球碰到另一个球时,那个球立刻停止,另一个球开始向右滚,直到碰到墙停下。输出最后每个球的位置。

solution
用一个\(set\)记住每个球的位置,当有滚动操作时,相当于将最左边的球拿出来,然后将其它球的位置减一,最后在墙的左边放一个球,用一个变量\(delta\)记住\(set\)的位置减了多少次\(1\)即可。

时间复杂度:\(O(nlogn)\)

Problem C. Flip a Coin

题目描述:有两个人在玩抛硬币游戏,每个人先选择一个只有'H', 'T'的字符串,然后不断地抛硬币,正面为'H', 反面为'T', 当硬币序列出现这两个人选择的序列时结束,谁的序列出现谁就赢。若同时出现,则平手。问每个人赢的概率以及平手的概率。

solution
考虑第一个人赢的概率。
将两个序列的前缀看成一个个点,设空串为一个点,每个点其实就代表着一种匹配的情况,每个点都会连出两条边,表示从这个点分别有\(\frac{1}{2}\)的概率经过某条边到达下一个匹配情况,然后可以列出若干条概率方程,每个未知量表示到达这个状态后能赢的概率,显然第一个序列的概率为\(1\),第二个序列的概率为\(0\),注意现考虑第二个序列,因为同时出现是算平手的。然后解方程解出答案。
第二个人赢的概率也是类似的解法。
平手的答案为\(1\)减上面两个答案的和。

时间复杂度:\(O(n^3)\)

Problem D. Octagons

题目描述:如下图给边编号,给出一个字符串,问起点和终点是否重合。

solution
以'a', 'b'的环为例,若序列中存在'ababa',则相当于'aba',即在一个环内到同一个点的两种走法,后者构成的序列较短。当序列中存在相邻两个相同的字符,则这两个字符可以消掉,因为相当于走了相同的边(回头路)。按这两个规则消除字符,最后剩下空串的说明起点与终点重合,否则不是。

时间复杂度:\(O(n)\)

Problem E. Tree Paths

Problem F. Very New York

题目描述:在二维平面上有\(n\)个点,现在有\(Q\)个询问,每次询问给出一个点\(P\)以及一个距离\(d\),问与点\(P\)的哈密顿距离不超过\(d\)的有多少个点。

solution
转变坐标系,BITvector

时间复杂度:\(O(Qlog^2n)\)

Problem G. Sheep

Problem H. Bin Packing

题目描述:有\(n\)个物品,每个物品的重量为\(w_i\),将这个物品分成若干份,使得每一份的总重量不超过\(S\),问最少分成多少份。

solution
状态压缩。记\(f[sett]\)表示已分配的为\(sett\),分成的最少份数,\(g[sett]\)表示最后一份的重量。然后枚举下一个要分配的物品为\(i\),能分到最后一份的塞到最后一份去,否则新开一份。

时间复杂度:\(O(2^nn)\)

Problem I. Statistics

Problem J. Zigzag

题目描述:给出两个序列\(a, b\),求出这两个序列的最长公共震荡序列(\(a_{i+1}>a_i and a_{i+1}>a_{i+2} or a_{i+1}<a_i and a_{i+1}>a_{i+2})\)。

solution
设\(f[i][j]\)表示\(a_i==b_j\)且最后是向下走的最大值,\(g[i][j]\)为\(a_i==b_j\)且最后是向上走的最大值。用两个二维BIT维护最后一个数为\(x\),对应\(b\)序列的第\(y\)位的\(f, g\)最大值。然后\(i\)从小到大枚举,\(j\)从大到小枚举,不断更新,维护。

时间复杂度:\(O(nmlog(n)log(m))\)

Problem K. Knapsack

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