【HDOJ6229】Wandering Robots(马尔科夫链,set)
题意:给定一个n*n的地图,上面有k个障碍点不能走,有一个机器人从(0,0)出发,每次等概率的不动或者往上下左右没有障碍的地方走动,问走无限步后停在图的右下部的概率
n<=1e4,k<=1e3
思路:据说是找规律
From https://blog.csdn.net/anna__1997/article/details/78494788 牛逼的证明
马尔科夫链的随机游走模型
可建立状态转移矩阵,对n * n 的图中n * n 个点编号为0 ~[ (n - 1) * n + n – 1] 设最大编号为max
P = p(i, j) = [p(0, 0) p(0, 1) … p(0, max)
P(1, 0) p(1, 1) … p(1, max)
…
P(max, 0) p(max, 1) … p(max, max)]
π(i) 为i时间各点的概率
π(n + 1) = π(n) * P
当时间->无穷 π(n + 1)->π
可以通过 π * P = π 计算
验证猜测结果正确
*******************************************************
找规律的答案 有待证明
现在能想到的是 整个封闭系统每个格子以出现机器人的概率作为权值 在很长的时间线上是一个熵增的
过程(想到元胞自动机),如果要模拟这个概率扩散的过程的话,格子的权值的更新是一个用他所能到达的格子的权值
和他自身的权值迭代的过程,这个过程中可以发现他的相邻的格子的权值是在不断同化的,因此,在无穷远后
(0, 0)的和他周围的格子的权值不在体现优势,而更加开放的格子则更占优(可根据迭代公式理解)
*******************************************************
考虑每个障碍点对答案的影响,找规律后的得到只与障碍点所在的位置与周围的联通情况有关
判格子是不是障碍可以用set
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define N 11000
#define M 210
#define MOD 1e9+7
#define eps 1e-8
#define pi acos(-1)
int dx[]={,-,,,},dy[]={,,,-,};
set<int>st; int read()
{
int v=,f=;
char c=getchar();
while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
return v*f;
} int gcd(int x,int y)
{
if(y==) return x;
return gcd(y,x%y);
} int main()
{
//freopen("hdoj6229.in","r",stdin);
//freopen("hdoj6299.out","w",stdout);
int cas;
scanf("%d",&cas);
for(int v=;v<=cas;v++)
{
st.clear();
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
st.insert(x*N+y);
}
int s1=n*n*-n*;
int s2=n*(n+)/*-*n-;
set<int>::iterator t=st.begin();
while(t!=st.end())
{
int s=*t;
int x=s/N;
int y=s%N;
for(int i=;i<=;i++)
{
int tx=x+dx[i];
int ty=y+dy[i];
if(tx<||tx>=n||ty<||ty>=n||st.count(tx*N+ty)) continue;
s1--;
if(tx+ty>=n-) s2--;
} if(x+y>=n-)
{
s2-=;
if(x==||x==n-) s2++;
if(y==||y==n-) s2++;
} s1-=;
if(x==||x==n-) s1++;
if(y==||y==n-) s1++;
t++;
} int k=gcd(s1,s2);
printf("Case #%d: %d/%d\n",v,s2/k,s1/k);
}
return ;
}
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