【bzoj3630】[JLOI2014]镜面通道 对偶图+计算几何+网络流最小割

题目描述

在一个二维平面上，有一个镜面通道，由镜面AC，BD组成，AC，BD长度相等，且都平行于x轴，B位于（0，0）。通道中有n个外表面为镜面的光学元件，光学元件α为圆形，光学元件β为矩形（这些元件可以与其他元件和通道有交集，具体看下图）。光线可以在AB上任一点以任意角度射入通道，光线不会发生削弱。当出现元件与元件，元件和通道刚好接触的情况视为光线无法透过（比如两圆相切）。现在给出通道中所有元件的信息（α元件包括圆心坐标和半径xi，yi，ri，β元件包括左下角和右上角坐标x1，y1，x2，y2）

如上图，S到T便是一条合法线路。

当然，显然存在光线无法透过的情况，现在交给你一个艰巨的任务，请求出至少拿走多少个光学元件后，存在一条光线线路可以从CD射出。

下面举例说明：

现在假设，取走中间那个矩形，那么就可以构造出一条穿过通道的光路，如图中的S到T。

输入

第一行包含两个整数，x，y，表示C点坐标

第二行包含一个数字，n，表示有n个光学元件

接下来n行

第一个数字如果是1，表示元件α，后面会有三个整数xi，yi，ri分别表示圆心坐标和半径

第一个数字如果是2，表示元件β，后面会有四个整数x1，y1，x2，y2分别表示左下角和右上角坐标（矩形都平行，垂直于坐标轴）

输出

输出包含一行，至少需要拿走的光学元件个数m

样例输入

1000 100
6
1 500 0 50
2 10 10 20 100
2 100 10 200 100
2 300 10 400 100
2 500 10 600 100
2 700 0 800 100

样例输出

2

---

题解

对偶图+计算几何+网络流最小割

首先有个神奇的物理学结论：水能通过的地方光也一定能通过。

因此直接判定左右通道是否连通即可。而和 bzoj3007 类似，左右连通意味着对偶图上下不连通。

所以问题转化为去掉最少的点使得上下不连通。这显然是个最小割问题。

拆点，如果两个元件相交，则互相连出点->入点的边，容量为inf；每个点的入点->出点，容量为1。最小割即为答案。

不过有点恶心的是原件相交的判定，需要耐心= =

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 610
#define M 400010
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 1 << 30;
queue<int> q;
int flag[N] , a[N] , b[N] , c[N] , d[N] , head[N] , to[M] , val[M] , next[M] , cnt = 1 , s , t , dis[N];
void add(int x , int y , int z)
{
    to[++cnt] = y , val[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
    to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
bool bfs()
{
    int x , i;
    memset(dis , 0 , sizeof(dis));
    while(!q.empty()) q.pop();
    dis[s] = 1 , q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        x = q.front() , q.pop();
        for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
        {
            if(val[i] && !dis[to[i]])
            {
                dis[to[i]] = dis[x] + 1;
                if(to[i] == t) return 1;
                q.push(to[i]);
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int x , int low)
{
    if(x == t) return low;
    int temp = low , i , k;
    for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
    {
        if(val[i] && dis[to[i]] == dis[x] + 1)
        {
            k = dinic(to[i] , min(temp , val[i]));
            if(!k) dis[to[i]] = 0;
            val[i] -= k , val[i ^ 1] += k;
            if(!(temp -= k)) break;
        }
    }
    return low - temp;
}
ll calc(int x , int y)
{
    return (ll)x * x + (ll)y * y;
}
bool judge(int x , int y)
{
    if(flag[x] + flag[y] == 2) return calc(a[x] - a[y] , b[x] - b[y]) <= (ll)(c[x] + c[y]) * (c[x] + c[y]);
    else if(flag[x] + flag[y] == 3)
    {
        if(flag[x] == 2) swap(x , y);
        if(calc(a[x] - a[y] , b[x] - b[y]) <= (ll)c[x] * c[x]) return 1;
        if(calc(a[x] - a[y] , b[x] - d[y]) <= (ll)c[x] * c[x]) return 1;
        if(calc(a[x] - c[y] , b[x] - b[y]) <= (ll)c[x] * c[x]) return 1;
        if(calc(a[x] - c[y] , b[x] - d[y]) <= (ll)c[x] * c[x]) return 1;
        if(abs(a[x] - a[y]) <= c[x] && b[x] >= b[y] && b[x] <= d[y]) return 1;
        if(abs(a[x] - c[y]) <= c[x] && b[x] >= b[y] && b[x] <= d[y]) return 1;
        if(abs(b[x] - b[y]) <= c[x] && a[x] >= a[y] && a[x] <= c[y]) return 1;
        if(abs(b[x] - d[y]) <= c[x] && a[x] >= a[y] && a[x] <= c[y]) return 1;
        return 0;
    }
    else
    {
        if(a[x] >= a[y] && a[x] <= c[y] && b[y] >= b[x] && b[y] <= d[x]) return 1;
        if(a[x] >= a[y] && a[x] <= c[y] && d[y] >= b[x] && d[y] <= d[x]) return 1;
        if(b[x] >= b[y] && b[x] <= d[y] && a[y] >= a[x] && a[y] <= c[x]) return 1;
        if(b[x] >= b[y] && b[x] <= d[y] && c[y] >= a[x] && c[y] <= c[x]) return 1;
        if(c[x] >= a[y] && c[x] <= c[y] && b[y] >= b[x] && b[y] <= d[x]) return 1;
        if(c[x] >= a[y] && c[x] <= c[y] && d[y] >= b[x] && d[y] <= d[x]) return 1;
        if(d[x] >= b[y] && d[x] <= d[y] && a[y] >= a[x] && a[y] <= c[x]) return 1;
        if(d[x] >= b[y] && d[x] <= d[y] && c[y] >= a[x] && c[y] <= c[x]) return 1;
        return 0;
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int h , n , i , j , ans = 0;
    scanf("%*d%d%d" , &h , &n) , s = 0 , t = 2 * n + 2;
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        scanf("%d%d%d%d" , &flag[i] , &a[i] , &b[i] , &c[i]);
        add(i + n + 1 , i , 1);
        if(flag[i] == 1)
        {
            if(b[i] + c[i] >= h) add(s , i + n + 1 , inf);
            if(b[i] - c[i] <= 0) add(i , t , inf);
        }
        if(flag[i] == 2)
        {
            scanf("%d" , &d[i]);
            if(d[i] >= h) add(s , i + n + 1 , inf);
            if(b[i] <= 0) add(i , t , inf);
        }
        for(j = 1 ; j < i ; j ++ )
            if(judge(i , j))
                add(i , j + n + 1 , inf) , add(j , i + n + 1 , inf);
    }
    while(bfs()) ans += dinic(s , inf);
    printf("%d\n" , ans);
    return 0;
}