Solutions to an Equation LightOJ - 1306

Solutions to an Equation LightOJ - 1306

一个基础的扩展欧几里得算法的应用。

解方程ax+by=c时，基本就是先记录下a和b的符号fla和flb（a为正则fla为1，为负则fla为-1，flb相同），然后对a和b取绝对值。求出ax+by=gcd(a,b)的一组解x=ansx,y=ansy，那么只有当c是gcd(a,b)的倍数时原方程才可能有解。设g=gcd(a,b)，通解是x=ansx*(c/g)*fla+k*b/g*fla,y=ansy*(c/g)*flb-k*a/g*flb。这里设xa=ansx*(c/g)*fla，xb=b/g*fla，ya=ansy*(c/g)*flb，yb=-(a/g*flb)。

那么这题就是根据通解的式子和x和y的范围去求k的范围，基本操作就是手算一下解不等式。

举例：不等式(x相关)：xa+k*xb>=x1,xa+k*xb<=x2

（解一下就会发现第一个式子解出的是k的最小值还是最大值，与xb的符号有关）

理论上不难，但是符号之类的细节实现起来有难度（...）。另外，a为0或b为0或a、b都为0时都需要特判（...）。

错误记录：

未特判0

---

upd:

以上应该有错。通解应该是x=ansx*fla+k*(b/g)*fla,y=ansy*flb-k*(a/g)*flb

通解就是那个没错的，但是要注意ansx和ansy是ax+by=gcd(a,b)的解，不是原方程的解。

如果有了一组原方程的解，求通解，那么就不要乘c/g

 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 LL T,x,y,a,b,c,x1,x2,y11,y2,g;
 LL gcd(LL a,LL b)
 {
     LL t;
     while(b!=)
     {
         t=a;
         a=b;
         b=t%b;
     }
     return a;
 }
 LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y)
 {
     if(b==)
     {
         x=;
         y=;
         return a;
     }
     else
     {
         LL t=exgcd(b,a%b,x,y);
         LL t1=x;
         x=y;
         y=t1-a/b*y;
         return t;
     }
 }
 int main()
 {
     LL TT,fla,flb,xa,xb,ya,yb,kl,kr,kl1,kr1;
     scanf("%lld",&T);
     for(TT=;TT<=T;TT++)
     {
         scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&x1,&x2,&y11,&y2);
         c=-c;
         if(a==&&b==)
         {
             if(c==)
             {
                 printf("Case %lld: %lld\n",TT,max(0ll,(x2-x1+)*(y2-y11+)));
             }
             else
             {
                 printf("Case %lld: %lld\n",TT,0ll);
             }
             continue;
         }
         if(a==)
         {
             if(c%b==&&(c/b>=y11)&&(c/b<=y2))
                 printf("Case %lld: %lld\n",TT,x2-x1+);
             else
                 printf("Case %lld: %lld\n",TT,0ll);
             continue;
         }
         if(b==)
         {
             if(c%a==&&(c/a>=x1)&&(c/a<=x2))
                 printf("Case %lld: %lld\n",TT,y2-y11+);
             else
                 printf("Case %lld: %lld\n",TT,0ll);
             continue;
         }
         fla=;flb=;
         if(a<)
         {
             a=-a;
             fla=-;
         }
         if(b<)
         {
             b=-b;
             flb=-;
         }
         g=gcd(a,b);
         if(c%g!=)
         {
             printf("Case %lld: %lld\n",TT,0ll);
             continue;
         }
         exgcd(a,b,x,y);
         xa=x*(c/g)*fla;
         xb=b/g*fla;
         ya=y*(c/g)*flb;
         yb=-(a/g*flb);
         //x=xa+k*xb,y=ya+k*yb
         if(xb>)
         {
             kl=ceil((double)(x1-xa)/xb);
             kr=floor((double)(x2-xa)/xb);
         }
         else
         {
             kr=floor((double)(x1-xa)/xb);
             kl=ceil((double)(x2-xa)/xb);
         }
         if(yb>)
         {
             kl1=ceil((double)(y11-ya)/yb);
             kr1=floor((double)(y2-ya)/yb);
         }
         else
         {
             kr1=floor((double)(y11-ya)/yb);
             kl1=ceil((double)(y2-ya)/yb);
         }
         //if(kl1>kr1)    swap(kl1,kr1);
         printf("Case %lld: %lld\n",TT,max(min(kr1,kr)-max(kl1,kl)+,0ll));
     }
     return ;
 }