TC SRM498 Div1 1000PT（容斥原理+DP）

【\(Description\)】

网格中每步可以走\((0,\cdots M_x,0\cdots M_y)\)中任意非零向量，有\(K\)种向量不能走，分别是\((r_1,r_1),(r_2,r_2),\cdots , (r_K,r_K)\)。 \(r_i\)一定是\(10\)的倍数。求从\((0,0)\)走到\((Tx,Ty)\)且走\(R\)步的方案数（ \(Tx,Ty,Mx,My\leq 800,R\leq 1600,K\leq 50\)）

无 【\(Input\;Sample\)】

无 【\(Output\;Sample\)】

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【朴素做法一】

设\(F_{i,x,y}\)表示走\(i\)步到\((x,y)\)的方案数

\[F_{i,x,y}=\sum_{a=0}^{Mx} \sum_{b=0}^{My} F_{i-1,x-a,y-b}
\]

\[((a,b)\neq ((r_1,\cdots r_K,r_1,\cdots r_K))
\]

状态枚举\(i,x,y\)，状态转移枚举\(a,b\)

\(O(1600\times 800^4\))

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【朴素做法二】

在做法一的算法考虑如何优化。

我们注意到:状态转移这个东西，如果排除掉那\(K\)个不能走的向量，相当于对一个\(Mx\times My\)的矩阵求和

而这个东西是可以用二维前缀和维护的。所以我们只需枚举那\(K\)个不能走的向量，实现\(O(K)\)的转移

这里我们把\(K=50\)这个常数忽略掉

\(O(1600\times 800^2\))

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【正解】

还是这个状态转移方程：

\[F_{i,x,y}=\sum_{a=0}^{Mx} \sum_{b=0}^{My} F_{i-1,x-a,y-b}
\]

我们发现：\(x,y\)是相互独立的，也就是说\(x\)轴上的转移与\(y\)轴上的转移是没有关系的

所以我们完全可以开两个数组：

\(f_{i,x}\)表示在一维上走\(i\)步到横坐标为\(x\)的方案数，\(g_{i,y}\)表示在一维上走\(i\)步到纵坐标为\(y\)的方案数

由此可得：

\[F_{i,x,y}=f_{i,x}\times g_{i,y}
\]

通过前缀和维护，即可\(O(R\times Tx)=O(1600\times 800)\)完成\(DP\)

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这只是\(K=0\)的情况，如何排除那些不合法的步数？

我们设\(h_{i,z}\)表示走\(i\)步全都不合法，走到\((10z,10z)\)的方案数（\(r_i\)一定是\(10\)的倍数）

\[h_{i,z}=\sum_{j=1}^K h_{i-1,z-r_j}
\]

还有一个细节，由于\((0,0)\)也是不合法的，那就添加一个\(r_0=0\)即可

这就要用到容斥原理了。

即可得到答案：

\[\sum_{i=0}^R \sum_{z=0}^{\frac{min(Tx,Ty)}{10}} (-1)^i \times h_{i,z} \times f_{R-i,Tx-10z} \times g_{R-i,Ty-10z} \times C_R^i
\]

这里乘上\(C_R^i\)是因为我们并不知道那\(i\)个不合法的步是那几步

最后这个容斥的复杂度是\(O(R\times \frac{min(Tx,Ty)}{10})=O(1600\times 80)\)

那么就做出来了

代码我就不贴了吧，因为只要想出做法，就只是一个简单的\(DP\)了。

主要考查的是思维