题意

维护一个字符串的集合$D$, 支持3种操作:

  1. 插入一个字符串$s$
  2. 删除一个字符串$s$
  3. 查询一个字符串$s$在$D$中作为子串出现的次数

强制在线

解法

AC自动机+二进制分组

二进制分组

二进制分组是一种用 (套用) 离线方法解决要求强制在线问题的分块技巧. 我第一次见到它是在2013年IOI国家集训队许昊然的论文<浅谈数据结构题的几个非经典解法>中. 满足修改操作对询问的贡献独立, 修改操作之间互不影响效果 (其实前后两句说的是同一件事) 的数据结构题, 都可以采用二进制分组算法.

原理

修改操作序列按二进制分组. 所谓"二进制", 指的是将长为$n$的修改序列按原顺序分成$k$组 (实际上是对时间分块), $k$为$n$的二进制表示中1的数目, 第$i$组的长度为第$i$个1的权重 (2的幂), 每组用一个数据结构维护. 例如, 长为10的操作序列将分成两组长度分别为 8 (1~8), 2 (9~10). 当修改序列的长度从$n$变成$n+1$时, 暴力重建变化的那些组, 不难看出需要重建的修改序列的总长度为lowbit($n+1$).

不难看出, 这个题目所涉及的操作与询问满足上述条件.

实现

二进制分组的框架:

设修改序列为vector<operation> s, 数据结构序列为 vector<structure> t.

  1. pop_back: 将过期的分组从队尾弹出
for(x=S.size(); x && lowbit(x)<lowbit(S.size()+1); t.pop_back(), x-=lowbit(x));
s.push_back(cur_op); // 将当前修改操作加进修改序列
  1. push_back: 将新建分组入队
structure cur;    // 初始化为空
for(int i=s.size()-lowbit(s.size()); i<s.size(); i++) // 0-indexed
cur.insert(s[i]);
t.push_back(cur);

Implementation

本题中除了用到二进制分组意外, 还有一个巧妙的转化:

分别维护插入和删操作形成的AC-自动机组 X, Y (即把删除操作也当作插入操作), 最后结果就是在X中查询的答案减去在Y中查询的答案.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N{1<<19}, M{1<<10};
typedef long long LL; vector<string> s; struct node{
int ch[26], fail, last, cnt;
bool f;
}; int lowbit(int x){
return x&-x;
} queue<int> que; struct AC{
using trie = vector<node>;
vector<trie> g; //group
vector<string> s; //string buffer void insert(const string &t){
for(int x=s.size(); x && lowbit(x)<lowbit(s.size()+1); g.pop_back(), x-=lowbit(x)); //error-prone
g.push_back({});
auto &cur=*g.rbegin();
cur.push_back({});
s.push_back(t); for(int i=s.size()-lowbit(s.size()); i<s.size(); i++){
int u=0;
for(auto &x:s[i]){
// int &v=cur[u].ch[x-'a']; //error
// do not use a reference to an object stored in a vector or any other dynamically allocated container,
// when it is under construction.
if(!cur[u].ch[x-'a']){
cur[u].ch[x-'a']=cur.size();
cur.push_back({});
}
u=cur[u].ch[x-'a'];
}
cur[u].cnt=1;
cur[u].f=true;
} for(int i=0; i<26; i++){
int u=cur[0].ch[i];
if(u) que.push(u);
} for(; que.size(); ){
int u=que.front();
que.pop();
for(int i=0; i<26; i++){
int &v=cur[u].ch[i]; //error-prone
if(v){ //v is a new node
que.push(v);
int &fail=cur[v].fail, &last=cur[v].last;
fail=cur[cur[u].fail].ch[i];
last=cur[fail].f ? fail : cur[fail].last;
cur[v].cnt+=cur[last].cnt;
// alternative: cur[v].cnt+=cur[fail].cnt;
}
else v=cur[cur[u].fail].ch[i];
}
}
} LL match(const string &t){
LL res=0;
for(auto &cur: g){
int u=0;
for(auto &x: t){ // no need to add a const before auto
u=cur[u].ch[x-'a'];
res+=cur[u].cnt;
}
}
return res;
}
}a, b; int main(){
int m, tail=0;
cin>>m;
string x;
for(int i=0, t; i<m; i++){
cin>>t>>x;
if(t==1){
a.insert(x);
}
else if(t==2){
b.insert(x);
}
else cout<<a.match(x)-b.match(x)<<endl;
}
}

代码中注释了我当时犯的一个不易察觉的错误.

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