【PKUSC 2015】的一道数学题

有9个人，每三个人中至少有两个互相认识，求证这里面至少有4个人互相认识

PKU官方题解：

引理:二染色K6中一定有同色K3。
证明:考虑某一个点，它一定连出至少三条同色边(不妨设为红边)，这三条边连的三个点之间的连边，如果存在红色边，那么有红色K3，如果不存在红色边，那么这三个点构成蓝色K3。
下证:二染色K9(下称为G)中的一个点，最多连出三条蓝色边：
如果存在某一个点，连出了至少4条蓝色边，考虑这四条边连的四个点之间的连边，如果存在蓝色边，那么有蓝色K3，否则有红色K4，命题得证。
于是对于G中的每一个点，最少连出5条红色边，但是如果每一个点都连出5条红色边的话，红边的总数是9*5/2=22.5不是整数。
所以存在至少一个点(下称点v)，连出至少6条红色边。
考虑这六条边连的六个点之间的连边，有引理可得，这六个点里一定存在同色K3
情况1:存在蓝色K3，命题得证
情况2:存在红色K3，这三个红色点加上v构成了红色K4，命题得证

看完上面这个，我是：

下面说一下我的证明吧QAQ应该比上面的好懂

证明：

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我们把每个人想象成一个节点，然后每个人之间都连一条边，构成一个有$\frac{9×8}{2}$条边的无向图。然后我们给所有边进行红黑染色，红色边代表连接的两个人互相认识，黑色边则代表不认识。那么原来的结论就等价于图中必然存在四个点，四个点之间的红色边能构成一个红色四边形，且这个图满足下面的引理1。

弱弱的引理1：

每三个人中至少有两个互相认识$\Longleftrightarrow$每三个人的关系中不存在三个人都互不认识的情况
每三个人的关系中不存在三个人都互不认识的情况$\Longleftrightarrow$无向图中不存在三个点间的三条边都为黑色
无向图中不存在三个点间的三条边都为黑色$\Longleftrightarrow$图中不存在黑色三角形

我们只要证明这个蓝色结论就可以啦～

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对于任意一个点，连接这个点的边有8条，且边的颜色只能是红色或黑色。由鸽巢原理得(其实下面要说的谁都懂，但是我就要说一个看起来比较高大上的名字)：在这8条边中一定存在一种颜色的边数≥4(这不是废话吗)。

然后就可以分情况讨论啦：

1.存在一个点，这个点连接的所有边中黑色边数≥4

2.不存在这样的点，这个点连接的所有边中黑色边数≥4；及所有点连接的黑色边数都≤3；也就是说所有点连接的红色边数都≥5

1和2两种情况的并集是全部情况，所以我们只要依次证明情况1和情况2是蓝色结论的充分条件就行啦～

情况1下的证明：

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　　我们随意选一个点，满足条件这个点连接的所有边中黑色边数≥4，给它编号为1。因为它连接的8条边中黑色边数≥4，任选与1相连的4条黑边，给这4条黑边连接的点一次编号为2、3、4、5。因为1和2、3、4、5的连边都是黑色，由引理1得图中不能存在黑色三角形，及2和3、3和4、4和5、5和2······这些点间的连边不能为黑色，也就是说2和3、3和4、4和5、5和2······这些点之间都是红色边，这样恰好构成了一个红色四边形。由此可得情况1是蓝色结论的充分条件。

情况2下的证明：

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　　因为所有点连接的红边数都≥5，那么假设所有点连接的红边数都等于5，这样图中$红边总数=\frac{9×5}{2}$，地球人都知道这是除不开的，那么由鸽巢原理得again：一定存在一个点连接的红边数≥6(很显然吧，鸽巢原理在平均数上的变形详见《组合数学》)。那么我们对一个连接红边数≥6的点编号为1，对它的红边连接的点中选6个依次编号为2、3、4、5、6、7。我们设集合S={2,3,4,5,6,7}，1与集合S中的点的连边可以想象成红色四边形中的两条红边，剩下的两条红边在集合S的点之间。对于3这个点，在情况2下它连接的红边数≥5，又因为不属于集合S的点为1，8，9，所以再次由鸽巢原理得：3与集合S中其它点的连边中红色边数≥2(还是很显然啊，毕竟这是最朴素的鸽巢原理)。设点a，b∈S且a，b≠3，且a，b与3的连边为红边。这样的话1与a，a与3，3与b，b与1之间的连边都为红边，构成了一个红色四边形。由此可得情况2是蓝色结论的充分条件。

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综上，图中必然存在四个点，四个点之间的红色边能构成一个红色四边形，且这个图满足引理1$\Longrightarrow$有9个人，每三个人中至少有两个互相认识，这里面至少有4个人互相认识。

证毕