【BZOJ1965】[AHOI2005] SHUFFLE 洗牌（数学题）

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大致题意： 有一叠扑克牌编号为\(1\sim n\)（\(n\)为偶数），每次洗牌将扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。问\(m\)次洗牌后第\(l\)张扑克牌的编号。

数学题

\(n,m\)这么大，比较显然是一道数学题。

设当前位置为\(x\)，则不难发现，每次洗牌之后，下一次的位置为：\(2x\)%\((n+1)\)

以此类推，经过\(m\)次洗牌，这张扑克牌的位置应为\(2^mx\)%\((n+1)\)

既然这样，题目要我们求的就出一个\(x\)满足$$2^mx\equiv l(mod\text{ }n+1)$$

根据等式的性质，原式可化为$$x\equiv l·(2^m){-1}(mod\text{ }n+1)$$

因此，我们只需求出\(2^m\)在模\(n+1\)意义下的乘法逆元，再乘以\(l\)，就可以求出\(x\)了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define Fsize 100000
#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
#define pc(ch) (putchar(ch))
int OutputTop=0;char Fin[Fsize],*FinNow=Fin,*FinEnd=Fin,OutputStack[Fsize];
using namespace std;
LL n,m,l;
inline void read(LL &x)
{
    x=0;static char ch;
    while(!isdigit(ch=tc()));
    while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));
}
inline void write(LL x)
{
    if(!x) return (void)pc('0');
    while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;
    while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;
}
inline LL quick_pow(LL x,LL y,LL MOD)//快速幂
{
    register LL res;
    for(res=1;y;(x*=x)%=MOD,y>>=1) if(y&1) (res*=x)%=MOD;
    return res;
}
inline void exgcd(LL x,LL y,LL &s1,LL &s2)//exgcd求逆元
{
    if(!y) return (void)(s1=1,s2=0);
    exgcd(y,x%y,s2,s1),s2-=x/y*s1;
}
inline LL Inv(LL x,LL y)//求逆元
{
    register LL s1,s2;
    exgcd(x,y,s1,s2);
    return (s1%y+y)%y;
}
int main()
{
    return read(n),read(m),read(l),write(Inv(quick_pow(2,m,n+1),n+1)*l%(n+1)),0;//求出2^m在模n+1意义下的逆元乘以l模n+1后的值
}