Luogu 3723 [AH2017/HNOI2017]礼物
BZOJ 4827
$$\sum_{i = 1}^{n}(x_i - y_i + c)^2 = \sum_{i = 1}^{n}(x_i^2 + y_i^2 + c^2 - 2 * x_iy_i + 2c * x_i - 2c * y_i) = \sum_{i = 1}^{n}x_i^2 + \sum_{i = 1}^{n}y_i^2 + nc^2 + (2\sum_{i = 1}^{n}(x_i -y_i))c - 2 * \sum_{i = 1}^{n}x_iy_i$$
发现第一项和第二项是一个定值,而第三项和第四项构成了一个开口向上的二次函数,当$c$最靠近对称轴的时候最小,唯一要处理的是最后一项$\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i$。
把$y$序列翻转一下,变成$\sum_{i = 1}^{n}x_iy_{n - i + 1}$,这是一个卷积的形式,可以使用$NTT$来加速。
而题目中要求可以旋转一个序列,那么把$x$序列倍长然后当作多项式和翻转后的$y$序列乘起来。
这一项就是在乘起来之后的第$n + 1$项到$2 * n$项中取个最大值。
时间复杂度$O(nlogn)$。
Code:
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll; const int N = 3e5 + ;
const ll P = 998244353LL;
const ll inf = 1LL << ; int n, m, lim = , pos[N];
ll a[N], b[N]; template <typename T>
inline void read(T &X) {
X = ; char ch = ; T op = ;
for (; ch > '' || ch < ''; ch = getchar())
if (ch == '-') op = -;
for (; ch >= '' && ch <= ''; ch = getchar())
X = (X << ) + (X << ) + ch - ;
X *= op;
} template <typename T>
inline void swap(T &x, T &y) {
T t = x; x = y; y = t;
} template <typename T>
inline void chkMin(T &x, T y) {
if(y < x) x = y;
} inline ll fpow(ll x, ll y) {
ll res = 1LL;
for (; y > ; y >>= ) {
if (y & ) res = res * x % P;
x = x * x % P;
}
return res;
} inline void prework() {
int l = ;
for (; lim <= * n; ++l, lim <<= );
for (int i = ; i < lim; i++)
pos[i] = (pos[i >> ] >> ) | ((i & ) << (l - ));
} inline void ntt(ll *c, int opt) {
for (int i = ; i < lim; i++)
if (i < pos[i]) swap(c[i], c[pos[i]]);
for (int i = ; i < lim; i <<= ) {
ll wn = fpow(, (P - ) / (i << ));
if(opt == -) wn = fpow(wn, P - );
for (int len = i << , j = ; j < lim; j += len) {
ll w = 1LL;
for (int k = ; k < i; k++, w = w * wn % P) {
ll x = c[j + k], y = w * c[j + k + i] % P;
c[j + k] = (x + y) % P, c[j + k + i] = (x - y + P) % P;
}
}
} if (opt == -) {
ll inv = fpow(lim, P - );
for (int i = ; i < lim; i++)
c[i] = c[i] * inv % P;
}
} int main() {
read(n), read(m);
ll suma = 0LL, sqra = 0LL, sumb = 0LL, sqrb = 0LL;
for (int i = ; i < n; i++) {
read(a[i]);
suma += a[i], sqra += a[i] * a[i];
}
for (int i = ; i < n; i++) {
read(b[i]);
sumb += b[i], sqrb += b[i] * b[i];
} for (int i = ; i < n; i++) a[i + n] = a[i];
for (int i = ; i < (n / ); i++) swap(b[i], b[n - i - ]); prework();
ntt(a, ), ntt(b, );
for (int i = ; i < lim; i++) a[i] = a[i] * b[i] % P;
ntt(a, -); /* for (int i = 0; i < lim; i++)
printf("%lld%c", a[i], i == (lim - 1) ? '\n' : ' '); */ ll ans = inf;
for (int i = ; i < n; i++) {
for (int j = -m; j <= m; j++) {
ll res = sqra + sqrb + 1LL * n * j * j;
res += 2LL * j * (suma - sumb) - 2LL * a[i + n - ];
chkMin(ans, res);
}
} printf("%lld\n", ans);
return ;
}
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