ACM数论之旅1---素数(万事开头难(>_<))
前言:好多学ACM的人都在问我数论的知识(其实我本人分不清数学和数论有什么区别,反正以后有关数学的知识我都扔进数论分类里面好了)
于是我就准备写一个长篇集,把我知道的数论知识和ACM模板都发上来(而且一旦模板有更新,我就直接在博客上改了,所以记得常来看看(。・ω・))
废话说完了,直接进入正题ヾ(=^▽^=)ノ
素数,又叫质数,定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数
我们通过这个定义,可以写如下程序判断一个数是不是质数
bool prime(int x){//判断x是不是质数,是返回true,不是返回false
if(x <= ) return false;
for(int i = ; i < x; i ++){
if(x % i == ) return false;
}
return true;
}
这个程序的时间复杂度是O(n),有没有更快的方法,当然
看这个
bool prime(int x){//判断x是不是质数,是返回true,不是返回false
if(x <= ) return false;
for(int i = ; i <= sqrt(x + 0.5); i ++){//0.5是防止根号的精度误差
if(x % i == ) return false;
}
return true;
}
//另一种方法,不需要根号
bool prime(int x){//判断x是不是质数,是返回true,不是返回false
if(x <= ) return false;
for(int i = ; i * i <= x; i ++){//用乘法避免根号的精度误差
if(x % i == ) return false;
}
return true;
}
//根据题目不同,如果i*i会爆int,记得开longlong
这个复杂度是O(√n),速度快多了(#°Д°)
根据题目不同,有可能你需要先预处理出1~N这N个数是否是素数
如果用刚刚的方法,复杂度就是O(n√n)
#include<cstdio>
const int N = + ;
bool prime[N];
bool is_prime(int x){
if(x <= ) return false;
for(int i = ; i * i <= x; i ++){
if(x % i == ) return false;
}
return true;
}
void init(){
for(int i = ; i < N; i ++){
prime[i] = is_prime(i);
}
}
int main(){
init();
}
如果n大一点,就太慢了(。・ω・)ノ゙
介绍一种新方法,埃筛
埃筛--------------埃拉托斯特尼筛法,或者叫埃氏筛法
原理:如果找到一个质数,那么这个质数的倍数都不是质数
比如2是质数,那么4,6,8,10,12...都不是质数
然后看3是质数,那么6,9,12,15,18,21...都不是质数
然后看4,4已经被2标记为合数了,所以跳过
然后看5......这样一直筛下去
#include<cstdio>
const int N = + ;
bool prime[N];
void init(){
for(int i = ; i < N; i ++) prime[i] = true;//先全部初始化为质数
for(int i = ; i < N; i ++){
if(prime[i]){//如果i是质数
for(int j = *i; j < N; j += i){//从i的两倍开始的所有倍数
prime[j] = false;
}
}
}
}
int main(){
init();
}
因为一些数字,比如6既被2的for循环经过又被3的for循环经过,所以复杂度不是O(n)
这个复杂度经过专业人士检验,复杂度O(nloglogn)(学过高数的小朋友可以自己证明≖‿≖✧当然也可以去百度)
知道原理后,我们再稍微优化一下就更快了
#include<cstdio>
const int N = + ;
bool prime[N];
void init(){
for(int i = ; i < N; i ++) prime[i] = true;
for(int i = ; i*i < N; i ++){//判断改成i*i<N
if(prime[i]){
for(int j = i*i; j < N; j += i){//从i*i开始就可以了
prime[j] = false;
}
}
}
}
int main(){
init();
}
好戏都是要留到最后的≖‿≖✧确实还有O(n)的做法
这个算法名字叫线筛
#include<cstdio>
const int N = + ;
bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数
int p[N], tot;//p[N]用来存质数
void init(){
for(int i = ; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数
for(int i = ; i < N; i++){
if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来
for(int j = ; j < tot && i * p[j] < N; j++){
prime[i * p[j]] = false;
if(i % p[j] == ) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去
}
}
}
int main(){
init();
}
这个方法可以保证每个合数都被它最小的质因数筛去
所以一个数只会经过一次
时间复杂度为O(n)
其实loglogn非常小,把埃筛看成线性也无妨,毕竟它比线筛好写
基于埃筛的原理,我们可以用它干很多事
比如预处理每个数的所有质因数
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = + ;
vector<int > prime_factor[N];
void init(){
for(int i = ; i < N; i ++){
if(prime_factor[i].size() == ){//如果i是质数
for(int j = i; j < N; j += i){
prime_factor[j].push_back(i);
}
}
}
}
int main(){
init();
}
比如预处理每个数的所有因数
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = + ;
vector<int > factor[N];
void init(){
for(int i = ; i < N; i ++){
for(int j = i; j < N; j += i){
factor[j].push_back(i);
}
}
}
int main(){
init();
}
比如预处理每个数的质因数分解
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = + ;
vector<int > prime_factor[N];
void init(){
int temp;
for(int i = ; i < N; i ++){
if(prime_factor[i].size() == ){
for(int j = i; j < N; j += i){
temp = j;
while(temp % i == ){
prime_factor[j].push_back(i);
temp /= i;
}
}
}
}
}
int main(){
init();
}
世界之大无奇不有(。-`ω´-)数论是个可怕的东西
ACM数论之旅1---素数(万事开头难(>_<))的更多相关文章
- acm数论之旅--欧拉函数的证明
随笔 - 20 文章 - 0 评论 - 73 ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现(我会证明都是骗人的╮( ̄▽ ̄)╭) https://blog.csdn.net/chen_ze_hua ...
- acm数论之旅--数论四大定理
ACM数论之旅5---数论四大定理(你怕不怕(☆゚∀゚)老实告诉我) (本篇无证明,想要证明的去找度娘)o(*≧▽≦)ツ ----------数论四大定理--------- 数论四大定理: 1.威 ...
- acm数论之旅--中国剩余定理
ACM数论之旅9---中国剩余定理(CRT)(壮哉我大中华╰(*°▽°*)╯) 中国剩余定理,又名孙子定理o(*≧▽≦)ツ 能求解什么问题呢? 问题: 一堆物品 3个3个分剩2个 5个5个分剩3个 ...
- acm数论之旅--组合数(转载)
随笔 - 20 文章 - 0 评论 - 73 ACM数论之旅8---组合数(组合大法好(,,• ₃ •,,) ) 补充:全错排公式:https://blog.csdn.net/Carey_Lu/ ...
- acm数论之旅(转载) -- 逆元
ACM数论之旅6---数论倒数,又称逆元(我整个人都倒了( ̄﹏ ̄)) 数论倒数,又称逆元(因为我说习惯逆元了,下面我都说逆元) 数论中的倒数是有特别的意义滴 你以为a的倒数在数论中还是1/a吗 ( ...
- 万事开头难——Cocos2d-x学习历程(一)
万事开头难,不知该从哪里开始,不过既然要学习一样新东西,那就从了解它开始吧... Cocos2d-x是一个通用平面游戏引擎,基于一个同样十分著名的游戏引擎Cocos2d-iPhone设计,Cocos2 ...
- 一个想法照进现实-《IT连》创业项目:万事开头难
前言: 之前是一个想法,现在已经进入创业阶段,所以这个系列的标题,改了. 众筹的事在今天也停止了. 7-9号会在深圳龙岗布吉参加一个风投对接的活动,今晚(6号)会出发. 因为:在深圳会呆几天,而且这个 ...
- 万事开头难 && 实践出真知
实践出真知,真是千古不变的真理. 前几天在顺手做一个万年历项目,实现了用TFT屏显示实时时间,日期,温度,和按键设置时间,能在特定时间显示特定的话语在显示屏上面.其实这个项目现在想想还是挺简单的.我的 ...
- 万事开头难,用HTML写的第一个界面,收获颇多
很开心跟了叶老师学习和做项目,基础不好,前期他会帮你安排好学习路线和计划.前期没有项目做,叶老师先让我先学习jQuery,给我推荐了一些网站,叫我一边学习,一边写博客.其实很早就有想写博客的想 ...
随机推荐
- BZOJ4543 Hotel加强版
题面 $\text{BZOJ}$间接权限题 洛谷的弱化版 题解 三点距离两两相等要满足以下条件: 有一个相同的$\text{LCA}$ 所以如果存在一个点,使得另外两个点在它子树中,距离为$d$,且$ ...
- AJAX其实就是一个异步网络请求
AJAX = Asynchronous JavaScript and XML(异步的 JavaScript 和 XML).其实就是一个异步网络请求. 一.创建对象 var xmlhttp; if (w ...
- c# url链接转成二维码图片,再转成byte[]二进制流,输出到前段ajax
需要用到的 dll 添加引用 代码: //获取配置文件设置的url string urllink = ConfigurationManager.AppSettings["urllink&qu ...
- Docker部署Redis容器
从仓库下载镜像 sudo docker pull redis 创建容器(前提:将redis.conf文件放入到/Users/chengang/docker/redis目录里面) docker ru ...
- 将exe依赖运行的dll,合并入exe中,整个程序仅存在一个exe文件
方法一: 使用ILMerge合并winform生成的exe和引用的dll文件 参考:https://blog.csdn.net/u010108836/article/details/76782375 ...
- python类与对象的内置函数大全(BIF)
关于类与对象的一些常用BIF(内置函数) 1.issubclass(class,classinfo) 含义:如果class是classinfo的子类,则返回True,否则返回false,用来判断子类关 ...
- csb反编译为csd,并自动进行资源的删除
好多人都想将csb进行反编译为csd,然后进行资源的清理 目前自己的项目也遇到了类似的问题,所以进行了整理 还有很多不完善的地方,后续会一步步加深 请大家多多指教 下载链接:https://pan.b ...
- Siki_Unity_3-6_UI框架 (基于UGUI)
Unity 3-6 UI框架 (基于UGUI) 任务1&2&3&4:介绍 && 创建工程 UI框架: 管理场景中所有UI面板 控制面板之间的跳转 如果没有UI框 ...
- JDBC Mysql 驱动连接异常
在做JDBC连接Mysql的时候遇到了三个异常: 第一个是:mysql8.0 caching_sha2_password 这个异常是由于是因为在mysql8.0之前的密码规则是mysql_native ...
- [笔试]CVTE 2019提前批 Windows应用开发笔试
不定项选择(x20) 数据结构 以abcdefg的顺序入栈,不可能出现的出栈顺序 一棵二叉树给出中序遍历和后序遍历结果,求左子树的节点数 操作系统 Linux中用什么指令可以找到文件中所有以" ...