【BZOJ 3640】JC的小苹果 （高斯消元，概率DP）

JC的小苹果

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Description

让我们继续JC和DZY的故事。

“你是我的小丫小苹果，怎么爱你都不嫌多！”

“点亮我生命的火，火火火火火！”

话说JC历经艰辛来到了城市B，但是由于他的疏忽DZY偷走了他的小苹果！没有小苹果怎么听歌！他发现邪恶的DZY把他的小苹果藏在了一个迷宫里。JC在经历了之前的战斗后他还剩下hp点血。开始JC在1号点，他的小苹果在N号点。DZY在一些点里放了怪兽。当JC每次遇到位置在i的怪兽时他会损失Ai点血。当JC的血小于等于0时他就会被自动弹出迷宫并且再也无法进入。

但是JC迷路了，他每次只能从当前所在点出发等概率的选择一条道路走。所有道路都是双向的，一共有m条，怪兽无法被杀死。现在JC想知道他找到他的小苹果的概率。

P.S.大家都知道这个系列是提高组模拟赛，所以这是一道送分题balabala

Input

第一行三个整数表示n，m，hp。接下来一行整数，第i个表示jc到第i个点要损失的血量。保证第1个和n个数为0。接下来m行每行两个整数a，b表示ab间有一条无向边。

Output

仅一行，表示JC找到他的小苹果的期望概率，保留八位小数。

Sample Input

3 3 2
0 1 0
1 2
1 3
2 3

Sample Output

0.87500000

HINT

对于100%的数据 2<=n<=150，hp<=10000，m<=5000，保证图联通。

Source

By JRY

【分析】

　　f[i][j]表示剩下i的体力，走到j点的概率。

　　显然f[hp][1]=1,$Ans=\sum_{i=1}^{hp} f[i][n]$

　　状态转移：$f[i][j]=f[i+lose[j]][k]*\dfrac{1}{d[k]}$

　　但是lose[j]有可能为0，状态转移可能成环，这时候就要高斯消元。

　　lose[j]不为0直接放入常数项。

　　就写成了$f[i][j]=f[i][k]*\dfrac{1}{d[k]}+...+b[j]$

　　这样高斯消元是$O(n^{3}*hp)$会超时

　　发现对于每个i，高斯消元前面部分是一样的，只是常数项变了。于是只做一次高斯消元，然后记录路径，常数项直接照路径做就好了。

　　【注意如果到达n就不会再走出去了

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 160
 #define Maxm 5010
 #define Maxl 10010
 const double eps=1e-;

 int dcmp(double x)
 {
     return abs(x)>eps;
 }

 int ls[Maxn];
 double f[Maxl][Maxn],d[Maxn];
 double a[Maxn][Maxn];

 struct node
 {
     int x,y,next;
 }t[Maxm*];
 int len,first[Maxn];

 void ins(int x,int y)
 {
     t[++len].x=x;t[len].y=y;
     t[len].next=first[x];first[x]=len;
     d[x]++;
 }

 int n;
 struct hp
 {
     int x;double y;
 }cz[Maxn][Maxn];
 int cnt[Maxn];
 void gauss()
 {
     for(int i=;i<=n;i++) cnt[i]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
      for(int j=i+;j<=n;j++)
      {
         if(dcmp(a[j][i]))
         {
             double t=a[j][i]/a[i][i];
             for(int k=;k<=n;k++) a[j][k]-=a[i][k]*t;
             cz[j][++cnt[j]].x=i;cz[j][cnt[j]].y=t;
         }
      }
 }

 double b[Maxn];
 void ffind(int id)
 {
     for(int i=n;i>=;i--)
     {
         for(int j=i+;j<=n;j++) b[i]-=f[id][j]*a[i][j];
         f[id][i]=b[i]/a[i][i];
     }
 }

 int main()
 {
     int m,hp;
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&hp);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&ls[i]);
     len=;
     memset(first,,sizeof(first));
     memset(d,,sizeof(d));
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         ins(x,y);
         if(x!=y) ins(y,x);
     }
     for(int i=;i<=n;i++) for(int j=;j<=n;j++) a[i][j]=;
     for(int i=;i<=n;i++) a[i][i]=1.0;

     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(ls[i]) continue;
         for(int j=first[i];j;j=t[j].next)
         {
             int y=t[j].y;
             if(y!=n) a[i][y]-=1.0/d[y];
         }
     }
     gauss();
     for(int i=hp;i>=;i--)
     {
         for(int j=;j<=n;j++) b[j]=;
         if(i==hp) b[]=1.0;
         for(int j=;j<=n;j++) if(ls[j]&&i+ls[j]<=hp)
         {
             for(int k=first[j];k;k=t[k].next)
             {
                 int y=t[k].y;
                 if(y!=n) b[j]+=f[ls[j]+i][y]*1.0/d[y];
             }
         }
         for(int j=;j<=n;j++)
          for(int k=cnt[j];k>=;k--)
          {
              b[j]-=b[cz[j][k].x]*cz[j][k].y;
          }
         ffind(i);
     }
     double ans=;
     for(int i=;i<=hp;i++) ans+=f[i][n];
     printf("%.8lf\n",ans);
     return ;
 }

2017-04-21 14:40:22