1254: 盒子游戏(Java)
WUSTOJ 1254: 盒子游戏
参考博客
叶剑飞Victor的博客
盒子游戏——爱程序网
原理是从上面博客看的,我另外补充了几幅图,方便理解
Description
有两个相同的盒子,其中一个装了n个球,另一个装了一个球。Alice和Bob发明了一个游戏,规则如下:Alice和Bob轮流操作,Alice先操作。每次操作时,游戏者先看看哪个盒子里的球的数目比较少,然后清空这个盒子(盒子里的球直接扔掉),然后把另一个盒子里的球拿一些到这个盒子中,使得两个盒子都至少有一个球。如果一个游戏者无法进行操作,他(她)就输了。下图是一个典型的游戏:
面对两个各装一个球的盒子,Bob无法继续操作,因此Alice获胜。你的任务是找出谁会获胜。假定两人都很聪明,总是采取最优策略。
Input
输入最多包含300组测试数据。每组数据仅一行,包含一个整数n(2<=n<=10^9)。输入结束标志为n=0。
Output
对于每组数据,输出胜者的名字。
Sample Input
2
3
4
0
Sample Output
Alice
Bob
Alice
题目分析
n=2时,Alice(A)拿完球后,只能得到(1,1)这种情况,结果A赢。
n=3时,A先拿,只能得到(2,1),Bob(B)再拿,只能得到(1,1),结果B赢。
n=4时,A一定会将球分成(3,1),B只能将球分成(2,1),A只能将球分成(1,1),结果A赢。
n=5时,A一定会将球分成(3,2),B只能将球分成(2,1),A只能将球分成(1,1),结果A赢。
n=6时,A一定会将球分成(3,3),B只能将球分成(2,1),A只能将球分成(1,1),结果A赢。
n=7时,无论A将球分成多少,B一定会将球分成(3,k)(k=1,2,3),A只能将球分成(2,1),B只能将球分成(1,1),结果B赢。(WPS流程图有限制。。。不规范的是我用图片编辑补充的。)
结论1:当球的个数为(m,n)且满足1<=n<=m,m=2k-1(k=1,2,3,4,…)时,当前拿球的人一定会输。
由于Alice先拿球,我们可以这么理解,如果Alice不能将球分成结论1
的情况,那么Bob一定会将球分成结论1
的情况,从而导致自己输掉。
由于Alice先拿球,可以进一步将结论分成2个:
1、球的个数为
结论1
所示,Alice一定会输;
2、球的个数不为结论1
所示,Alice都可以将球分成结论1
所示,Alice一定会赢。
这里有必要说明一点,拿球结果只和球较多的那部分有关,较少的部分最终都会被扔掉,不必考虑。不明白就多看几遍上面的图并自行体会。
这里我们只需要证明第1条(即结论1)成立,第2条自然也就成立。下面就用数学归纳法
来证明第1条是否成立:
解:
第一步,当k1=1时,盒子状态为(1,1),当前是Alice拿,因此Alice输;
第二步,当k2=k1+1时,盒子状态为(3,1),当前是Alice拿,因此Alice输;
第三步,令k=e时,球的状态为(2e-1,1)时,满足结论1
,当前是Alice拿,因此Alice输;
当k=e+1时,球的状态为(2e+1-1,1),
Alice只能分成(m,n),且1<=n<=m,m+n=2e+1-1,
那么m的范围是[2e,2e+1-2],(与此对应的n的范围是[2e-1,1]),
因此可以看出m是大于k=e时的球个数2e-1的
也就是说,Alice是不可能将球的个数分成(2e-1,1)的,接下来Bob肯定将球分成(2e-1,1)从而让Alice拿,也就是让Alice输。
因此当k=e时,能够使k=e+1满足结论1
,因此,结论1
成立。结论得证。
代码
分析:当n=2k-1时,n的二进制是前面一串0,最后k个1
,
因此n&1
只有2种情况1和0
,如果是1,将n右移1位;如果是0,退出右移循环。
此时判断n是否等于0,等于0说明n=2k-1,那么Alice输
不等于0,说明n最后一位的左边还有1,而最后一位是0,显然与开头说的最后k个1
中的最后
相矛盾,那么Alice赢。
// 这是参考博客的第一个的方法
// 提交用时:349ms
import java.util.Scanner;
public class Main {
private Scanner sc;
private int n;
public Main() {
sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
while(0 != n) {
while((n & 1) == 1) {
n >>= 1;
}
if(0 == n) {
System.out.println("Bob");
} else {
System.out.println("Alice");
}
n = sc.nextInt();
}
sc.close();
}
public static void main(String[] args) {
new Main();
}
}
分析:既然我们已经知道了Bob赢时的n值,那为何我们不将这些n值先算出来呢,再同输入的值相比较,这样对于数据较多(此题明确说了最多300组数据)时,肯定会缩短计算时间的。
// 这是参考博客的第二个的方法
// 提交用时:256ms
import java.util.Scanner;
public class Main {
private Scanner sc;
private int n, i;
private int[] bob; // 使得Bob赢的n值
public Main() {
sc = new Scanner(System.in);
bob = new int[32];
bob[0] = 1;
for(i = 1; i <= 31; i++) {
bob[i] = bob[i - 1] * 2 + 1;
}
n = sc.nextInt();
while(0 != n) {
for(i = 1; i <= 31; i++) {
if(n == bob[i]) {
System.out.println("Bob");
break;
} else if(n < bob[i]) {
System.out.println("Alice");
break;
}
}
n = sc.nextInt();
}
sc.close();
}
public static void main(String[] args) {
new Main();
}
}
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