[bzoj4589]Hard Nim(FWT快速沃尔什变化+快速幂)

题面：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4589

题意

求选恰好n个数，满足每个数都是不大于m的质数，且它们的异或和为0的方案数。

解法

设f(i,j)为选了i个数，异或和为j的方案数，转移如下：

\[ f(i,j)=\sum_{k\bigoplus{p}=j}{f(i-1,k)*[p\quad is\quad prime]}
\]

我们发现这是一个异或卷积的形式，状态向量一开始只有0的地方是1，它与一个只有质数下标处值为1的向量卷积n次，然后下标为0处的值就是答案。

但我们又发现n是1e9级别的，所以考虑用快速幂求出质数向量自卷n次的结果，最后再卷上状态向量就行。

总时间复杂度O(mlog2(n)log2(m)).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define il inline
#define rep(i,a,b) for(re int i=(a);i<=(b);++i)
const int N =105005;
int p[N],cnt,n,m;
bool vis[N];
il int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
const int mod =1e9+7;
typedef long long ll;
const ll inv =500000004;
int g[N],f[N];
ll ksm1(ll x,ll y){
    ll aa=1ll;
    for(;y;y>>=1,x=(x*x)%mod)if(y&1)aa=(aa*x)%mod;
    return aa;
}
void fwt(int *a,int l,int f){
    re int i,j,k,x,y;
    for(j=1;j<l;j<<=1){
        for(i=0;i<l;i+=(j<<1)){
            for(k=i;k<i+j;++k){
                x=a[k],y=a[k+j];
                a[k]=(x+y)%mod,a[k+j]=(x-y+mod)%mod;
                if(f==-1)a[k]=1ll*a[k]*inv%mod,a[k+j]=1ll*a[k+j]*inv%mod;
            }
        }
    }
}
void ksm(int l,int y){
    fwt(g,l,1),fwt(f,l,1);
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1){
            rep(i,0,l-1)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;
        }
        rep(i,0,l-1)g[i]=1ll*g[i]*g[i]%mod;
    }
}
int main(){
    rep(i,2,50003){
        if(!vis[i])p[++cnt]=i;
        rep(j,1,cnt){
            if(i*p[j]>50000)break;
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        memset(g,0,sizeof(g)),memset(f,0,sizeof(f));
        rep(i,1,cnt){
            if(p[i]>m)break;
            g[p[i]]=f[p[i]]=1;
        }
        int l=1;
        for(;l<=m;l<<=1);
        ksm(l,n-1);//从1次幂开始乘方，f[0]初值为0是为了强制取恰好n堆
        fwt(f,l,-1);
        printf("%d\n",f[0]);
    }
    return 0;
}