【bzoj4589】Hard Nim FWT+快速幂

题目大意：给你$n$个不大于$m$的质数，求有多少种方案，使得这$n$个数的异或和为$0$。其中,$n≤10^9,m≤10^5$。

考虑正常地dp，我们用$f[i][j]$表示前$i$个数的异或和为$j$的方案数。

我们构造一个数组$g$，若i为不大于$m$的质数，则$g[i]=1$,否则为$0$。

那么显然，$f[i][j]=\sum f[i-1][k]\times g[j \oplus k]$。  其中$j \oplus k$表示$j$和$k$的按位异或。

然后我们不难发现，$f[i]为f[i-1]$与$g$的异或卷积。

则$f[n]$为$g$的$n$次异或卷积，答案显然为$f[n][0]$。

我们用$FWT$将$g$变成点值表达式，然后做快速幂，最后再插值回来，就得到答案了。

时间复杂度为$O(m\ log\ m+m\ log\ n)$。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 131072
 #define L long long
 #define MOD 1000000007
 using namespace std;
 int b[M]={},pri[M]={},use=;
 void init(){
     for(int i=;i<M;i++){
         if(!b[i]) pri[++use]=i;
         for(int j=;j<=use&&i*pri[j]<M;j++){
             b[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
 }
 L pow_mod(L x,int k){
     L ans=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*x%MOD;
         x=x*x%MOD; k>>=;
     }
     return ans;
 }
 void FWT(L a[],int n,int on){
     for(int i=;i<n;i<<=)
     for(int j=;j<n;j++)
     if(i&j){
         L w=a[i^j];
         a[i^j]=(w+a[j])%MOD;
         a[j]=(w-a[j]+MOD)%MOD;
     }
     if(on==-){
         L inv=pow_mod(n,MOD-);
         for(int i=;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
     }
 }
 L g[M]={},ans[M]={};
 int main(){
     init();
     int t,n;
     while(cin>>t>>n){
         int len=; while(len<=n) len<<=;
         for(int i=;i<=n;i++) if(b[i]==) g[i]=;
         FWT(g,len,); memcpy(ans,g,M<<); t--;
         while(t){
             if(t&) for(int i=;i<len;i++) ans[i]=ans[i]*g[i]%MOD;
             t>>=; for(int i=;i<len;i++) g[i]=g[i]*g[i]%MOD;
         }
         FWT(ans,len,-);
         printf("%lld\n",ans[]);
         memset(g,,len<<); memset(ans,,len<<);
     }
 }